통합과학 고1 시스템과 상호작용 심화

운동량과 충격량

운동량의 정의(p=mv)와 충격량, 운동량 보존 법칙을 이해하고 충돌 현상에 적용한다.

운동량

p = m v

는 물체가 가진 '운동의 양'이고, 충격량

F Δ t

는 힘이 시간 동안 작용해 그 운동량을 바꾼 양입니다. 충돌 전후에 계 전체의 운동량은 보존됩니다.

에어백은 충격을 없애 주지 않습니다. 어차피 겪어야 할 운동량 변화를 더 긴 시간에 걸쳐 나눠 받게 해서, 순간의 힘을 줄여 줄 뿐입니다.

쉽게 말하면

역학 시스템에서 힘과 에너지를 다뤘다면, 이제 '힘이 얼마 동안 작용했는가'를 봅니다. 같은 힘이라도 오래 작용하면 물체의 운동은 더 많이 바뀝니다. 그래서 힘과 시간을 곱한 양을 충격량이라 하고, 이것이 운동량의 변화와 정확히 같습니다.

$I = F Δ t = Δ p = m v^{'} - m v$

이 식을 거꾸로 읽으면 실생활의 안전 장치가 전부 설명됩니다. 달리던 차가 멈춘다면 운동량 변화 $Δ p$ 는 이미 정해져 있습니다 — 처음 운동량에서 0이 되는 것이니까요. 우리가 바꿀 수 있는 것은 그 변화를 얼마나 긴 시간에 걸쳐 겪느냐뿐입니다. $Δ t$ 를 늘리면 같은 $Δ p$ 를 만드는 데 필요한 $F$ 가 작아집니다. 에어백, 안전벨트, 매트, 번지 점프의 늘어나는 줄, 자동차 앞부분이 일부러 잘 구겨지도록 만든 설계 — 전부 시간을 버는 장치입니다.

운동량은 방향이 있는 양입니다. 그래서 계산하기 전에 어느 쪽을 (+)로 볼지 먼저 정해야 합니다. 반대 방향으로 달리는 두 물체의 운동량은 부호가 달라 합할 때 서로 상쇄됩니다.

외부에서 힘이 작용하지 않는다면, 충돌 전 두 물체의 운동량 합과 충돌 후의 합이 같습니다 — 운동량 보존 법칙입니다. 충돌하는 동안 A가 B를 미는 힘과 B가 A를 미는 힘은 크기가 같고 방향이 반대이며 작용한 시간도 같으므로, 두 물체가 받은 충격량이 정확히 상쇄되기 때문입니다.

이렇게 나타납니다

예시 1

에어백이 힘을 줄이는 방식

$F = \frac{Δ p}{Δ t}$

운동량 변화 $Δ p$ 는 충돌 상황이 이미 정해 놓았습니다. 딱딱한 핸들에 부딪히면 $Δ t$ 가 아주 짧아 $F$ 가 커지고, 에어백에 파묻히면 $Δ t$ 가 몇 배로 늘어나 $F$ 가 그만큼 작아집니다. 받는 충격량은 같은데 몸이 견뎌야 할 힘만 줄어듭니다.
예시 2

총을 쏘면 뒤로 밀리는 이유

쏘기 전 총과 총알의 운동량 합은 0입니다. 총알이 앞으로 나가며 (+) 운동량을 얻었으니, 합이 0으로 유지되려면 총은 반대 방향으로 (−) 운동량을 가져야 합니다. 총알은 가볍고 빠르게, 총은 무겁고 느리게 — 곱한 값은 같습니다.
예시 3

달걀을 방석에 던지기

같은 높이에서 떨어뜨려도 콘크리트 바닥에서는 깨지고 두꺼운 방석 위에서는 깨지지 않습니다. 달걀의 운동량 변화는 두 경우 모두 똑같습니다. 다른 것은 멈추는 데 걸린 시간뿐입니다.

순서대로 하면

충돌 문제 푸는 순서

1어느 방향을 (+)로 할지 먼저 정합니다. 왼쪽으로 가는 물체는 (−) 부호를 붙입니다.
2충돌 전 각 물체의 운동량 $m v$ 를 부호까지 포함해 구하고 모두 더합니다.
3충돌 후의 운동량 합도 같은 방식으로 식을 세웁니다.
4두 합이 같다고 놓고 모르는 값을 구합니다. 이때 답이 음수로 나오면 처음에 정한 (+) 방향의 반대로 움직인다는 뜻입니다.
5운동 에너지가 보존된다는 가정은 함부로 쓰지 않습니다 — 대부분의 충돌에서는 보존되지 않습니다.

운동량과 운동 에너지

구분	운동량	운동 에너지
식	$p = m v$	$E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2}$
방향	있다 (벡터) — 부호를 따진다	없다 (스칼라) — 항상 0 이상
속도와의 관계	속도에 비례	속도의 제곱에 비례
충돌에서	언제나 보존된다	보존되지 않을 수 있다 (열·소리로 빠져나감)

자주 하는 오해

에어백이 '충격량을 줄여 준다'고 말하기

이렇게 생각하기 쉬움에어백이 충격량을 흡수해서 몸이 받는 충격량이 작아진다

실제로는충격량(=운동량 변화)은 같습니다. 에어백은 충돌 시간을 늘려 '힘'을 줄이는 것입니다.

충돌 직전 몸의 운동량과 멈춘 뒤의 운동량(0)이 정해져 있으니, 그 차이인 충격량도 이미 정해져 있습니다. 에어백은 그 정해진 양을 더 오랜 시간에 걸쳐 나눠 받게 할 뿐입니다.

F Δ t

가 일정한 상태에서

Δ t

를 늘렸으니

F

가 줄어드는 것 — 다치느냐 마느냐를 가르는 것은 충격량이 아니라 순간의 힘입니다.

운동량과 운동 에너지를 섞어 쓰기

이렇게 생각하기 쉬움충돌에서 운동량이 보존되니 운동 에너지도 보존된다

실제로는운동량은 (외력이 없으면) 언제나 보존되지만, 운동 에너지는 대부분의 충돌에서 보존되지 않습니다.

충돌할 때 물체가 찌그러지고 소리가 나고 뜨거워집니다. 그만큼의 운동 에너지가 다른 형태로 빠져나간 것입니다. 반면 운동량은 방향이 있는 양이라 A가 잃은 만큼 B가 정확히 얻습니다 — 열이나 소리로 새어 나갈 방법이 없습니다. 두 물체가 부딪혀 한 덩어리로 붙어 멈추는 극단적인 경우를 생각해 보면, 운동 에너지는 사라졌지만 운동량의 합은 원래도 0이었습니다.