F = ma와 F = p / t 중 무엇이 더 근본적인가요?

F = p / t 쪽입니다. 질량이 일정할 때 p = m v이므로 F = m v t = ma가 되어 두 식이 같아집니다. 하지만 로켓처럼 연료를 뿜어 질량이 줄어드는 경우에는 운동량으로 쓴 쪽만 통합니다.

물리학 고2 힘과 에너지

운동량과 충격량

Q: 정지한 물체도 운동량이 있나요?

없습니다. v = 0이면 p = 0입니다. 아무리 무거워도 서 있으면 운동량은 0입니다. 반대로 질량이 아주 작아도 속도가 크면 운동량은 클 수 있습니다.

Q: 운동량의 단위는 무엇인가요?

kg· m/s입니다. 충격량의 단위는 N· s인데, 1,N = 1,kg· m/s2이므로 N· s = kg· m/s로 정확히 같습니다. 두 양이 같은 것이라는 증거입니다.

운동량(p=mv)과 충격량(I=Ft)의 관계를 이용하여 충돌 현상을 분석한다. (12물리01-03)

운동량은 질량과 속도의 곱

p = m v

로 정의되는 '운동의 양'이고, 충격량은 힘을 작용한 시간만큼 곱한

I = F Δ t

로, 물체가 받은 충격량은 그대로 운동량의 변화량이 됩니다.

같은 속도로 굴러오는 볼링공과 탁구공을 손으로 멈춘다고 생각해 보세요. 둘을 멈추는 데 필요한 '총량'이 다릅니다. 그 총량이 운동량이고, 손이 얼마나 세게 얼마나 오래 버텨야 하는지가 충격량입니다.

쉽게 말하면

뉴턴 운동 제2법칙을 $F = ma$ 가 아니라 $F = \frac{Δ p}{Δ t}$ 로 다시 쓰면, 힘은 '운동량을 시간에 대해 바꾸는 것'이 됩니다. 양변에 $Δ t$ 를 곱하면 바로 충격량-운동량 정리가 나옵니다.

$I = F Δ t = Δ p = m v^{'} - m v$

중학교에서 배운 운동량과 충격량이 여기서 왜 유용한지가 드러납니다. 충돌은 힘이 아주 짧은 시간에 급격히 변해서 $F = ma$ 로 순간순간을 추적하기가 어렵습니다. 하지만 충격량은 그 복잡한 힘을 시간에 대해 모두 합친 값이라, 충돌 전후의 속도만 알면 계산이 끝납니다. 힘-시간 그래프의 넓이가 곧 충격량입니다.

이 관계가 안전 장치의 원리이기도 합니다. 자동차가 벽에 부딪히면 속도가 0이 되므로 운동량 변화량 $Δ p$ 는 이미 정해져 있습니다. 바꿀 수 있는 것은 $Δ t$ 뿐입니다. 에어백과 구겨지는 차체가 충돌 시간을 길게 늘리면, 같은 충격량을 더 작은 힘으로 나눠 받게 됩니다.

이렇게 나타납니다

예시 1

2 kg 공이 3 m/s로 날아와 벽에 부딪혀 3 m/s로 튕겨 나올 때

$Δ p = (2) (- 3) - (2) (3) = - 12 kg \cdot m/s$

속도의 방향이 반대로 바뀌었으므로 부호가 달라집니다. 크기가 $12$ 이지 $0$ 이 아닙니다 — 방향이 뒤집히는 것이 가장 큰 운동량 변화입니다.
예시 2

달걀을 방석 위에 떨어뜨리면 왜 안 깨질까

바닥에 닿기 직전 속도는 방석이 있든 없든 똑같으므로 $Δ p$ 는 같습니다. 방석은 멈추는 시간 $Δ t$ 를 길게 만들어 줍니다. $F = Δ p /Δ t$ 이므로 시간이 10배 길어지면 힘은 $\frac{1}{10}$ 이 됩니다.
예시 3

힘-시간 그래프의 넓이

충돌하는 동안 힘은 0에서 최대까지 치솟았다 다시 0으로 돌아갑니다. 이 울퉁불퉁한 곡선 아래 넓이가 충격량이고, 같은 넓이를 만드는 평균 힘을 $\overset{ˉ}{F}$ 라 하면 $\overset{ˉ}{F} Δ t = Δ p$ 로 다룰 수 있습니다.

순서대로 하면

충격량 문제 푸는 순서

1직선 위의 한 방향을 (+)로 정합니다. 충돌 문제에서 부호 실수가 오답의 절반입니다.
2충돌 전 운동량 $m v$ 와 충돌 후 운동량 $m v^{'}$ 를 부호까지 붙여 각각 씁니다.
3 $Δ p = m v^{'} - m v$ 를 계산합니다. '나중 빼기 처음' 순서를 지킵니다.
4받은 충격량은 이 $Δ p$ 와 같습니다. 평균 힘이 필요하면 $\overset{ˉ}{F} = Δ p /Δ t$ 로 나눕니다.

운동량과 운동 에너지 — 둘 다 '움직임의 양'인데 무엇이 다른가

구분	운동량 $p = m v$	운동 에너지 $E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2}$
방향	벡터 — 방향이 있고 부호가 바뀝니다	스칼라 — 방향이 없고 항상 0 이상입니다
속도 의존	속도에 비례	속도의 제곱에 비례
짝이 되는 양	충격량 $F Δ t$	일 $F s$
충돌에서	언제나 보존됩니다	탄성 충돌에서만 보존됩니다

자주 하는 오해

튕겨 나오는 충돌과 달라붙는 충돌의 충격량이 같다고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움속력

3 m/s

로 부딪혔으니 벽에 붙어 멈추든

3 m/s

로 튕겨 나오든 받은 충격은 비슷하다

실제로는튕겨 나올 때 받는 충격량이 두 배입니다. 멈추기만 하면

Δ p = 0 - m v = - m v

지만, 반대로 튕겨 나오면

Δ p = - m v - m v = - 2 m v

입니다.

운동량은 벡터라서 방향을 뒤집는 데도 '값'이 듭니다. 멈추는 데 한 번, 반대 방향으로 밀어내는 데 또 한 번 든다고 보면 됩니다. 잘 튕기는 공이 벽을 더 세게 때리는 이유가 이것입니다.

에어백이 충격량을 줄여 준다고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움에어백을 터뜨리면 몸이 받는 충격량이 줄어든다

실제로는충격량은 그대로입니다. 에어백이 줄이는 것은 '힘'입니다.

충돌 전 속도와 충돌 후 속도(0)가 정해지면

Δ p

는 이미 결정되고, 충격량은

Δ p

와 같으므로 바꿀 수 없습니다. 에어백이 하는 일은 그 정해진 충격량을 긴 시간에 걸쳐 나눠 받게 해서 매 순간의 힘

F = Δ p /Δ t

를 작게 만드는 것입니다.

선수 개념 — 이걸 먼저 알아야 해요

운동량과 충격량고1 뉴턴 운동 제2법칙고2

이후 개념 — 이 개념을 배우면 이어집니다

운동량 보존 법칙고2

같은 단원의 개념 — 힘과 에너지

자주 묻는 질문

F = ma

와

F = Δ p /Δ t

중 무엇이 더 근본적인가요?

F = Δ p /Δ t

쪽입니다. 질량이 일정할 때

Δ p = m Δ v

이므로

F = m \frac{Δ v}{Δ t} = ma

가 되어 두 식이 같아집니다. 하지만 로켓처럼 연료를 뿜어 질량이 줄어드는 경우에는 운동량으로 쓴 쪽만 통합니다.

Q2정지한 물체도 운동량이 있나요?

없습니다.

v = 0

이면

p = 0

입니다. 아무리 무거워도 서 있으면 운동량은 0입니다. 반대로 질량이 아주 작아도 속도가 크면 운동량은 클 수 있습니다.

Q3운동량의 단위는 무엇인가요?

kg \cdot m/s

입니다. 충격량의 단위는

N \cdot s

인데,

1 N = 1 kg \cdot m/ s^{2}

이므로

N \cdot s = kg \cdot m/s

로 정확히 같습니다. 두 양이 같은 것이라는 증거입니다.

교육과정 2022 개정 · 고2 물리학 · 힘과 에너지 수록 기본 (교육과정 단원)

출처 교육부 고시 제2022-33호 (2022 개정 교육과정) · NCIC 국가교육과정정보센터

오류 신고하기

충격량-운동량 정리를 두 물체 사이에 적용하면 놀라운 결과가 나옵니다. 운동량 보존 법칙에서 확인해 보세요.

전체 연결 구조가 궁금하다면

초3~고3 과학 646개 개념의 연결을 한 화면에서 탐색할 수 있습니다.

운동량과 충격량 지도에서 확인하기 →