물리학 고2 힘과 에너지

역학적 에너지 보존

Q: 곡선 경로에서도 정말 쓸 수 있나요?

네. 그것이 이 법칙의 가장 큰 장점입니다. F = ma로는 매 순간 방향이 바뀌는 곡면을 다루기가 매우 어렵지만, 에너지는 처음과 나중 상태만 보므로 경로가 아무리 복잡해도 상관없습니다.

Q: 수직항력이 있는데도 왜 보존이 되나요?

수직항력은 면에 수직, 운동은 면을 따라 일어나므로 두 방향이 항상 수직입니다. 90 = 0이라 한 일이 0이고, 에너지를 주지도 빼앗지도 않습니다.

마찰이 없는 계에서 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 합이 일정하게 유지됨을 탐구한다. (12물리01-04)

마찰이나 공기 저항이 없으면 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 합(역학적 에너지)이 언제나 일정하게 유지됩니다:

E_{k} + E_{p} = 일정

롤러코스터를 생각해 보세요. 높은 곳에서는 느리고, 내려오면 빨라집니다. 높이라는 통장에서 돈을 빼서 속도라는 통장에 옮겨 담을 뿐, 두 통장의 잔액 합계는 그대로입니다.

쉽게 말하면

이 법칙은 일-에너지 정리에서 곧바로 나옵니다. 중력만 작용한다면 합력이 한 일은 중력이 한 일이고, 중력이 한 일은 퍼텐셜 에너지의 감소량 $- Δ E_{p}$ 입니다. 정리에 넣으면

$- Δ E_{p} = Δ E_{k} ⟹ Δ E_{k} + Δ E_{p} = 0$

즉 둘의 합은 변하지 않습니다.

$\frac{1}{2} m v^{2} + m g h = \frac{1}{2} m v^{'2} + m g h^{'}$

이 식이 강력한 이유는 중간 과정을 전혀 몰라도 되기 때문입니다. 미끄럼틀이 직선이든 구불구불하든, 롤러코스터가 몇 바퀴를 돌든, 마찰만 없다면 처음 높이와 나중 높이만 알면 속도가 나옵니다. 자유 낙하의 $v^{2} = 2 g h$ 도 사실 이 식을 정리한 결과이고, 경사면이든 곡면이든 똑같이 성립합니다.

조건은 '마찰과 공기 저항이 없을 것'입니다. 정확히 말하면 경로에 따라 값이 달라지는 힘이 일을 하지 않을 것입니다. 수직항력이나 실의 장력은 항상 운동 방향과 수직이라 일을 하지 않으므로, 있어도 보존이 깨지지 않습니다. 마찰이 있으면 그 힘이 한 일만큼 역학적 에너지가 줄어들고, 그 줄어든 만큼은 열로 바뀝니다 — 없어지는 것이 아닙니다.

이렇게 나타납니다

예시 1

높이 $h$ 의 미끄럼틀을 내려올 때 바닥에서의 속도

$m g h = \frac{1}{2} m v^{2} ⟹ v = 2 g h$

질량이 약분되어 사라집니다. 무거운 아이나 가벼운 아이나 마찰이 없다면 바닥에서 같은 속도가 됩니다. 미끄럼틀의 모양이나 기울기도 답에 들어오지 않습니다 — 오직 높이만 중요합니다.
예시 2

진자가 가장 낮은 점을 지날 때

실의 장력은 항상 운동 방향과 수직이라 일을 하지 않습니다. 따라서 처음 높이만으로 최저점의 속력이 정해지고, 반대편으로 올라갈 때는 처음과 같은 높이까지 정확히 올라갑니다.
예시 3

위로 던진 공의 최고점 높이

$\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = m g h_{m a x} ⟹ h_{m a x} = \frac{v _{0}^{2}}{2 g}$

처음 운동 에너지가 전부 퍼텐셜 에너지로 바뀌는 지점이 최고점입니다. 시간을 구하지 않고 한 줄로 끝납니다.

순서대로 하면

역학적 에너지 보존으로 문제 푸는 순서

1마찰과 공기 저항을 무시해도 되는 상황인지 확인합니다. 마찰이 있으면 이 법칙만으로는 부족합니다.
2높이의 기준면을 한 곳 정합니다. 대개 가장 낮은 지점을 $h = 0$ 으로 잡으면 편합니다.
3'처음' 상태의 $E_{k} + E_{p}$ 를 씁니다.
4'나중' 상태의 $E_{k} + E_{p}$ 를 씁니다.
5두 값을 등호로 놓고 미지수를 구합니다. 질량이 약분되는 경우가 많으니 끝까지 남겨 두었다가 확인합니다.

자주 하는 오해

무거운 물체가 미끄럼틀 바닥에서 더 빠르다고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움몸무게가 크면 퍼텐셜 에너지

m g h

도 크니까 바닥에서 더 빠르다

실제로는

m g h = \frac{1}{2} m v^{2}

에서

m

이 양변에서 약분되어

v = 2 g h

가 됩니다. 무게와 무관하게 같은 속도입니다.

무거우면 가진 에너지도 크지만, 그 에너지로 움직여야 할 질량도 그만큼 큽니다. 정확히 상쇄됩니다. 자유 낙하에서 무게와 상관없이 같이 떨어지는 것과 완전히 같은 이유입니다.

마찰이 있으면 에너지가 사라진다고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움마찰 때문에 에너지 보존 법칙이 깨진다

실제로는깨지는 것은 '역학적 에너지' 보존이지 '에너지' 보존이 아닙니다. 줄어든 역학적 에너지는 정확히 그만큼 열로 바뀝니다.

Δ E_{역학} = W_{마찰}

이고, 마찰이 한 음의 일의 크기만큼 접촉면이 뜨거워집니다. 손을 비비면 따뜻해지는 것이 그 열입니다. 열까지 장부에 포함하면 총량은 언제나 맞아떨어집니다.

선수 개념 — 이걸 먼저 알아야 해요

운동 에너지고2 퍼텐셜 에너지고2

이후 개념 — 이 개념을 배우면 이어집니다

역학적 에너지와 열 전환고2

같은 단원의 개념 — 힘과 에너지

자주 묻는 질문

Q1곡선 경로에서도 정말 쓸 수 있나요?

네. 그것이 이 법칙의 가장 큰 장점입니다.

F = ma

로는 매 순간 방향이 바뀌는 곡면을 다루기가 매우 어렵지만, 에너지는 처음과 나중 상태만 보므로 경로가 아무리 복잡해도 상관없습니다.

Q2수직항력이 있는데도 왜 보존이 되나요?

수직항력은 면에 수직, 운동은 면을 따라 일어나므로 두 방향이 항상 수직입니다.

cos 9 0^{\circ} = 0

이라 한 일이 0이고, 에너지를 주지도 빼앗지도 않습니다.

Q3롤러코스터가 출발한 언덕보다 높은 언덕을 넘을 수 있나요?

동력 없이 굴러가기만 한다면 불가능합니다. 마찰이 없어도 처음 높이가 한계이고, 실제로는 마찰 때문에 그보다 낮은 곳까지만 올라갑니다. 그래서 롤러코스터의 두 번째 언덕은 언제나 첫 언덕보다 낮습니다.

교육과정 2022 개정 · 고2 물리학 · 힘과 에너지 수록 기본 (교육과정 단원)

출처 교육부 고시 제2022-33호 (2022 개정 교육과정) · NCIC 국가교육과정정보센터

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