물리학 고2 힘과 에너지

각속도와 원주 속도

Q: 라디안은 왜 쓰나요?

호의 길이 s와 반지름 r의 비 = sr로 정의된 각도라서, s = r처럼 각도에 반지름만 곱하면 곧바로 길이가 됩니다. 도(°)를 쓰면 매번 변환 상수를 끼워 넣어야 합니다.

Q: 주기와 진동수의 관계는 무엇인가요?

진동수 f는 1초에 몇 바퀴 도는지이므로 f = 1T이고, 따라서 = 2 f입니다. 세 양 중 하나만 알면 나머지 둘이 바로 나옵니다.

원운동에서 각속도(ω=2π/T)와 선속도(v=rω)의 관계를 이해한다.

각속도

ω

는 1초에 몇 라디안을 도는지를 재는 양이고(

ω = \frac{2 π}{T}

), 원주 속도(선속도)는 실제로 원 둘레를 따라 움직이는 빠르기로

v = r ω

입니다.

회전목마를 생각해 보세요. 안쪽에 탄 사람과 바깥쪽에 탄 사람은 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간이 똑같습니다(각속도가 같습니다). 하지만 바깥쪽 사람이 훨씬 먼 거리를 이동하므로 실제로 더 빠릅니다(원주 속도가 큽니다).

쉽게 말하면

원운동에는 '빠르기'를 재는 방법이 두 가지 있습니다. 하나는 각도로 재는 것이고, 다른 하나는 실제 이동 거리로 재는 것입니다.

한 바퀴는 $2 π$ 라디안이고 도는 데 걸리는 시간이 주기 $T$ 이므로, 각속도는

$ω = \frac{2 π}{T} [rad/s]$

한편 한 바퀴의 실제 거리는 원둘레 $2 π r$ 이므로, 원주 속도는

$v = \frac{2 π r}{T} = r ω [m/s]$

두 식을 나란히 두면 $v = r ω$ 라는 다리가 보입니다. 같은 각속도라도 축에서 멀수록 실제 속도는 빠릅니다. 회전목마에서 바깥쪽 말이 더 스릴 있는 이유, 시계의 초침 끝이 축 근처보다 빨리 움직이는 이유가 이것입니다.

각속도가 편리한 이유는 한 덩어리로 도는 물체 전체가 같은 $ω$ 를 가지기 때문입니다. 돌아가는 원판 위의 모든 점은 각속도가 같지만 선속도는 위치마다 다릅니다. 그래서 회전을 다룰 때는 위치마다 달라지는 $v$ 대신 하나로 통하는 $ω$ 를 쓰는 것이 훨씬 깔끔합니다.

구심 가속도도 각속도로 바꿔 쓸 수 있습니다. $v = r ω$ 를 $a_{c} = \frac{v ^{2}}{r}$ 에 넣으면 $a_{c} = r ω^{2}$ 이 됩니다. 같은 각속도로 도는 물체는 축에서 멀수록 구심 가속도가 더 큽니다.

이렇게 나타납니다

예시 1

회전목마의 안쪽과 바깥쪽

$ω_{안} = ω_{바깥}, v = r ω \Rightarrow v_{바깥} > v_{안}$

같이 출발해 같이 도착하므로 주기가 같고, 따라서 각속도도 같습니다. 하지만 바깥쪽이 두 배 먼 곳이면 실제 속도는 두 배입니다.
예시 2

주기 $2 s$ , 반지름 $0.5 m$ 인 원운동

$ω = \frac{2 π}{2} = π rad/s, v = r ω = 0.5 π \approx 1.57 m/s$

주기만 알면 각속도가 바로 나오고, 반지름을 곱하면 선속도가 나옵니다. 이 두 단계가 원운동 계산의 뼈대입니다.
예시 3

구심 가속도를 각속도로 쓰기

$a_{c} = \frac{v ^{2}}{r} = \frac{( r ω ) ^{2}}{r} = r ω^{2}$

선속도를 모르고 주기만 알 때 훨씬 편합니다. 같은 각속도라면 축에서 먼 쪽이 구심 가속도가 더 크다는 것도 이 식에서 바로 보입니다.

각속도 vs 원주 속도(선속도)

구분	각속도 $ω$	원주 속도 $v$
재는 것	1초에 도는 각도	1초에 이동한 실제 거리
단위	$rad/s$	$m/s$
반지름과의 관계	반지름과 무관	반지름에 비례 ( $v = r ω$ )
한 덩어리 물체에서	모든 점이 같음	점마다 다름
주기와의 관계	$ω = 2 π / T$	$v = 2 π r / T$

자주 하는 오해

각속도가 같으면 속도도 같다고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움원판 위의 모든 점이 함께 도니까 속도도 다 같다

실제로는각속도는 같지만 선속도는

v = r ω

로 반지름에 비례해 달라집니다. 축 위의 점은 속도가 0이고, 가장자리는 가장 빠릅니다.

같은 시간에 같은 '각도'를 돌지만, 이동한 '거리'가 다르기 때문입니다. 바깥쪽 점은 더 큰 원을 그려야 하므로 같은 시간에 더 먼 길을 갑니다. '함께 돈다'는 말이 '같은 속도로 움직인다'는 뜻이 아니라는 것을 놓치면 회전 문제에서 계속 틀립니다.

각속도의 단위를 각도(°)로 쓰기

이렇게 생각하기 쉬움한 바퀴가

36 0^{\circ}

이므로

ω = \frac{360}{T}

실제로는물리에서 각속도는 라디안으로 씁니다.

ω = \frac{2 π}{T}

입니다.

v = r ω

나

a_{c} = r ω^{2}

같은 공식이 성립하려면 각도가 반드시 라디안이어야 합니다. 라디안은 '호의 길이 ÷ 반지름'으로 정의된 각도라서, 곱하기만 하면 바로 길이가 나오도록 설계되어 있습니다. 도(°)를 넣으면 이 다리가 무너져 답이 엉뚱해집니다.

선수 개념 — 이걸 먼저 알아야 해요

원운동과 구심력고2

이후 개념 — 이 개념을 배우면 이어집니다

없음 — 이 개념이 마지막입니다

같은 단원의 개념 — 힘과 에너지

자주 묻는 질문

Q1라디안은 왜 쓰나요?

호의 길이

s

와 반지름

r

의 비

θ = \frac{s}{r}

로 정의된 각도라서,

s = r θ

처럼 각도에 반지름만 곱하면 곧바로 길이가 됩니다. 도(°)를 쓰면 매번 변환 상수를 끼워 넣어야 합니다.

Q2주기와 진동수의 관계는 무엇인가요?

진동수

f

는 1초에 몇 바퀴 도는지이므로

f = \frac{1}{T}

이고, 따라서

ω = 2 π f

입니다. 세 양 중 하나만 알면 나머지 둘이 바로 나옵니다.

Q3각속도도 벡터인가요?

엄밀하게는 벡터이고 방향은 회전축을 따릅니다. 다만 고등학교 과정의 일차원 회전 문제에서는 시계 방향과 반시계 방향을 부호로만 구분해도 충분합니다.

교육과정 2022 개정 · 고2 물리학 · 힘과 에너지 수록 기본 (교육과정 단원)

출처 교육부 고시 제2022-33호 (2022 개정 교육과정) · NCIC 국가교육과정정보센터

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