= I는 F = ma에서 유도되나요?

네. 축에서 r만큼 떨어진 작은 질량 m에 F = ma를 적용하고, 양변에 r을 곱해 rF = mr2 · ar로 정리하면 = (mr2)가 됩니다. 물체 전체에 대해 더하면 I = mr2가 등장합니다. 새로운 법칙이 아니라 뉴턴 법칙을 회전에 맞게 옮겨 적은 것입니다.

물리학 고2 힘과 에너지 심화

각가속도와 회전 운동 방정식

Q: 각가속도의 단위는 무엇인가요?

rad/s2입니다. 각속도(rad/s)를 시간으로 나눈 것이므로, '1초마다 각속도가 몇 라디안 매초씩 늘어나는가'를 뜻합니다.

각속도 변화율인 각가속도(α=Δω/Δt)와 회전 운동 방정식(τ=Iα)을 이해한다.

각가속도는 각속도가 얼마나 빨리 변하는지를 나타내는

α = \frac{Δ ω}{Δ t}

이고, 회전 운동 방정식

τ = I α

는 직선 운동의

F = ma

를 회전 버전으로 옮긴 것입니다.

F = ma

를 거울에 비춘 것이

τ = I α

입니다. 힘 자리에 돌림힘, 질량 자리에 관성 모멘트, 가속도 자리에 각가속도가 들어갑니다. 이름만 바꾼 같은 이야기입니다.

쉽게 말하면

돌림힘과 회전 평형에서는 $\sum τ = 0$ 인 경우, 즉 회전하지 않는 상태만 다뤘습니다. 그러면 돌림힘의 합이 0이 아니면 어떻게 될까요? 직선 운동에서 알짜힘이 물체를 가속시키듯, 알짜 돌림힘은 물체를 회전 가속시킵니다.

$τ = I α$

각가속도 $α$ 는 각속도의 변화율이고 단위는 $rad/ s^{2}$ 입니다. 정지해 있던 팽이가 점점 빨리 돌기 시작할 때, 그 '점점'이 각가속도입니다.

직선 운동과 회전 운동은 놀랄 만큼 정확하게 짝을 이룹니다. 위치 $\leftrightarrow$ 각도, 속도 $\leftrightarrow$ 각속도, 가속도 $\leftrightarrow$ 각가속도, 힘 $\leftrightarrow$ 돌림힘, 질량 $\leftrightarrow$ 관성 모멘트. 심지어 등가속도 공식들도 $v = v_{0} + a t$ 가 $ω = ω_{0} + α t$ 로, 문자만 바꿔 그대로 성립합니다.

가장 중요한 차이는 질량 자리에 들어가는 것이 단순한 질량 $m$ 이 아니라 관성 모멘트 $I$ 라는 점입니다. 직선 운동에서는 물체의 모양이 상관없지만, 회전에서는 질량이 축에서 얼마나 멀리 퍼져 있는가가 결정적입니다. 같은 질량이라도 축에서 멀리 퍼져 있으면 돌리기 훨씬 어렵습니다.

이렇게 나타납니다

예시 1

직선 운동과 회전 운동의 대응

$F = ma ⟷ τ = I α$

구조가 완전히 같습니다. 왼쪽은 '무엇을 가하는가', 오른쪽은 '얼마나 버티는가 × 얼마나 변하는가'입니다. 하나를 이해했다면 다른 하나는 이름만 바꾸면 됩니다.
예시 2

등각가속도 공식

$ω = ω_{0} + α t, θ = ω_{0} t + \frac{1}{2} α t^{2}$

직선 운동의 등가속도 공식에서 $v \to ω$ , $a \to α$ , $s \to θ$ 로 바꾸기만 하면 됩니다. 새로 외울 것이 없습니다.
예시 3

같은 돌림힘, 다른 각가속도

같은 힘으로 문을 밀어도 문에 무거운 물건을 문 바깥쪽에 매달아 두면 훨씬 천천히 열립니다. 돌림힘은 같은데 $I$ 가 커져서 $α = τ / I$ 가 작아진 것입니다.

직선 운동 ↔ 회전 운동 대응표

구분	직선 운동	회전 운동
변위	$s$	각변위 $θ$
속도	$v$	각속도 $ω$
가속도	$a$	각가속도 $α$
원인이 되는 양	힘 $F$	돌림힘 $τ$
'버티는' 양	질량 $m$	관성 모멘트 $I$
운동 방정식	$F = ma$	$τ = I α$

자주 하는 오해

각가속도와 구심 가속도를 같은 것으로 보기

이렇게 생각하기 쉬움원운동을 하니까 구심 가속도가 있고, 그게 각가속도다

실제로는완전히 다른 양입니다. 구심 가속도는 속도의 방향을 바꾸고, 각가속도는 회전의 빠르기를 바꿉니다.

등속 원운동을 생각하면 분명해집니다. 일정한 빠르기로 도는 물체는 각속도가 변하지 않으므로 각가속도

α = 0

입니다. 그런데도 방향이 계속 바뀌므로 구심 가속도는 0이 아닙니다. 하나는 0이고 하나는 0이 아닌데 같은 것일 리 없습니다.

회전에서도 질량만 있으면 된다고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움

τ = m α

로 쓰면 되지 않나

실제로는

τ = I α

입니다. 회전에서는 질량이 어디에 있느냐가 함께 들어갑니다.

같은

1 kg

이라도 축 바로 옆에 붙어 있는 것과 팔 끝에 매달린 것은 돌리기 난이도가 완전히 다릅니다. 이 차이를 담는 것이

I = \sum m r^{2}

의

r^{2}

입니다. 직선 운동에서는 '어디에 있든 상관없이 무거운 만큼만 버틴다'였지만, 회전은 위치가 제곱으로 들어옵니다.

선수 개념 — 이걸 먼저 알아야 해요

돌림힘과 회전 평형고2

이후 개념 — 이 개념을 배우면 이어집니다

관성 모멘트고2

같은 단원의 개념 — 힘과 에너지

자주 묻는 질문

Q1각가속도의 단위는 무엇인가요?

rad/ s^{2}

입니다. 각속도(

rad/s

)를 시간으로 나눈 것이므로, '1초마다 각속도가 몇 라디안 매초씩 늘어나는가'를 뜻합니다.

Q2각가속도가 0이면 회전을 멈추나요?

아닙니다. 각가속도가 0이면 각속도가 '변하지 않는다'는 뜻이므로, 일정한 빠르기로 계속 회전합니다. 가속도가 0이라고 속도가 0이 아닌 것과 똑같습니다.

τ = I α

는

F = ma

에서 유도되나요?

네. 축에서

r

만큼 떨어진 작은 질량

m

에

F = ma

를 적용하고, 양변에

r

을 곱해

r F = m r^{2} \cdot \frac{a}{r}

로 정리하면

τ = (m r^{2}) α

가 됩니다. 물체 전체에 대해 더하면

I = \sum m r^{2}

가 등장합니다. 새로운 법칙이 아니라 뉴턴 법칙을 회전에 맞게 옮겨 적은 것입니다.

교육과정 2022 개정 · 고2 물리학 · 힘과 에너지 수록 심화 (교육과정 밖 확장 개념)

출처 교육부 고시 제2022-33호 (2022 개정 교육과정) · NCIC 국가교육과정정보센터

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