물리학 고2 힘과 에너지

구심 가속도

Q: ac = v2r은 어떻게 나오나요?

짧은 시간 t 동안 속도 벡터가 회전한 각을 라 하면 |v| v,이고, 같은 시간에 물체가 움직인 호의 길이는 v, t = r,입니다. 두 식에서 를 소거하고 a = |v| t에 넣으면 v2r이 나옵니다.

등속 원운동에서 속도 방향은 변하지만 크기는 일정하며, 중심 방향으로 ac=v²/r의 가속도가 존재함을 이해한다.

등속 원운동에서 속력은 일정하지만 속도의 방향이 계속 바뀌므로, 원의 중심을 향하는 가속도

a_{c} = \frac{v ^{2}}{r}

가 존재합니다.

가속도는 '빨라지는 것'만 뜻하지 않습니다. 방향을 꺾는 것도 가속입니다. 자동차가 일정한 속도계 눈금을 유지하며 커브를 돌 때 몸이 쏠리는 것은, 그 순간 분명히 가속되고 있다는 증거입니다.

쉽게 말하면

'속력이 일정한데 가속도가 있다'는 문장이 이상하게 들린다면, 가속도의 정의를 다시 볼 때입니다. 가속도는 속도의 변화율이고, 속도는 크기와 방향을 함께 가진 벡터입니다. 크기가 그대로여도 방향이 바뀌면 속도는 변한 것이고, 따라서 가속도가 있습니다.

방향은 어느 쪽일까요? 원 위의 두 점에서의 속도 벡터를 그려 빼 보면( $Δ v = v_{2} - v_{1}$ ), 그 차이가 원의 안쪽을 가리킵니다. 두 점을 아주 가깝게 잡을수록 정확히 중심을 향합니다. 그래서 '구심(求心)', 중심을 구하는 가속도입니다.

$a_{c} = \frac{v ^{2}}{r}$

이 식은 두 가지를 말해 줍니다. 빠를수록 방향을 꺾기 어렵고(제곱으로), 반지름이 작을수록 급하게 꺾어야 합니다. 같은 속도로 달려도 급커브가 완만한 커브보다 훨씬 위험한 이유입니다.

원운동과 구심력의 $F = \frac{m v ^{2}}{r}$ 은 이 가속도에 $F = ma$ 를 적용한 것일 뿐입니다. 순서를 바꿔 생각하면 이해가 쉽습니다: 원운동을 하려면 방향이 계속 꺾여야 하고 → 그러려면 중심 방향 가속도가 필요하고 → 가속도가 있으려면 힘이 있어야 한다. 구심력은 결과이지 출발점이 아닙니다.

이렇게 나타납니다

예시 1

반지름이 절반인 커브를 같은 속도로 돌 때

$a_{c} = \frac{v ^{2}}{r} ⟹ r \to \frac{r}{2} \Rightarrow a_{c} \to 2 a_{c}$

필요한 구심 가속도가 두 배가 됩니다. 그만큼 타이어가 더 큰 마찰력을 내야 하고, 못 내면 미끄러집니다.
예시 2

속도가 두 배가 되면

$a_{c} = \frac{( 2 v ) ^{2}}{r} = 4 \times \frac{v ^{2}}{r}$

필요한 구심 가속도는 네 배가 됩니다. 커브에서 속도를 조금만 올려도 위험이 급격히 커지는 이유가 이 제곱에 있습니다.
예시 3

속도와 가속도가 항상 수직

속도는 원의 접선 방향, 구심 가속도는 중심 방향이라 둘은 언제나 수직입니다. 가속도에 속도 방향 성분이 하나도 없으므로 속력이 변할 수 없습니다 — 방향만 계속 꺾입니다.

자주 하는 오해

가속도가 있으면 속력이 빨라져야 한다고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움구심 가속도가 있으니 물체가 점점 빨라진다

실제로는구심 가속도는 속도의 방향만 바꿉니다. 등속 원운동에서 속력은 전혀 변하지 않습니다.

가속도가 속력을 바꾸려면 속도와 나란한 성분이 있어야 합니다. 구심 가속도는 속도와 정확히 수직이라 그런 성분이 0입니다. 자동차로 치면, 핸들만 꺾고 가속 페달은 밟지 않는 상태입니다. '가속도 = 빨라짐'이라는 등식이 여기서 깨집니다.

가속도가 바깥쪽을 향한다고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움커브를 돌 때 몸이 바깥으로 쏠리니 가속도도 바깥쪽이다

실제로는가속도는 중심을 향합니다. 몸이 바깥으로 쏠리는 느낌은 관성 때문이지, 바깥쪽 가속도 때문이 아닙니다.

Δ v

를 실제로 그려 보면 안쪽을 가리킵니다. 몸이 바깥으로 밀리는 것처럼 느껴지는 것은, 내 몸이 직진하려 하는데 차가 안쪽으로 꺾여 들어오면서 문이 나를 밀기 때문입니다. 밖에서 보면 나를 안쪽으로 미는 힘만 있을 뿐, 나를 바깥으로 미는 것은 아무것도 없습니다.

선수 개념 — 이걸 먼저 알아야 해요

원운동과 구심력고2

이후 개념 — 이 개념을 배우면 이어집니다

없음 — 이 개념이 마지막입니다

같은 단원의 개념 — 힘과 에너지

자주 묻는 질문

a_{c} = \frac{v ^{2}}{r}

은 어떻게 나오나요?

짧은 시간

Δ t

동안 속도 벡터가 회전한 각을

Δ θ

라 하면

∣Δ v ∣ \approx v Δ θ

이고, 같은 시간에 물체가 움직인 호의 길이는

v Δ t = r Δ θ

입니다. 두 식에서

Δ θ

를 소거하고

a = \frac{∣Δ v ∣}{Δ t}

에 넣으면

\frac{v ^{2}}{r}

이 나옵니다.

Q2속력이 변하는 원운동에서는 어떻게 되나요?

가속도가 두 성분으로 나뉩니다. 중심 방향의 구심 가속도는 방향을 바꾸고, 접선 방향의 성분은 속력을 바꿉니다. 등속 원운동은 접선 성분이 0인 특수한 경우입니다.

Q3구심 가속도와 각가속도는 다른가요?

완전히 다릅니다. 구심 가속도는 속도의 방향을 바꾸고, 각가속도는 회전의 빠르기를 바꿉니다. 등속 원운동에서는 각가속도가 0이지만 구심 가속도는 0이 아닙니다.

교육과정 2022 개정 · 고2 물리학 · 힘과 에너지 수록 기본 (교육과정 단원)

출처 교육부 고시 제2022-33호 (2022 개정 교육과정) · NCIC 국가교육과정정보센터

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