물리학 고2 힘과 에너지 심화

탄성 충돌

Q: 상대 속도 식은 어떻게 나오나요?

운동량 보존식을 m1(v1 - v1') = m2(v2' - v2)로, 에너지 보존식을 m1(v12 - v1'2) = m2(v2'2 - v22)로 정리한 뒤 두 식을 나누면 됩니다. a2 - b2 = (a+b)(a-b)로 인수분해하면 v1 + v1' = v2 + v2'가 나오고, 이를 옮기면 상대 속도 식이 됩니다.

충돌 전후 운동량과 운동 에너지가 모두 보존되는 완전 탄성 충돌을 수식으로 분석한다.

충돌 전후로 운동량과 운동 에너지가 둘 다 보존되는 충돌입니다.

완벽하게 튀는 고무공을 생각하면 됩니다. 부딪히는 순간 잠깐 찌그러지며 에너지를 용수철처럼 저장했다가, 다시 펴지면서 그 에너지를 하나도 남김없이 돌려줍니다. 열도 소리도 나지 않는 이상적인 충돌입니다.

쉽게 말하면

운동량 보존 법칙은 모든 충돌에서 성립하므로, 탄성 충돌을 특별하게 만드는 것은 운동 에너지 보존이라는 조건 하나가 더 붙는다는 점입니다. 미지수가 둘( $v_{1}^{'}$ , $v_{2}^{'}$ )인데 식이 둘이므로 충돌 후 속도가 완전히 결정됩니다.

$m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$
$\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{'2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{'2}$

두 번째 식은 제곱이 들어 있어 다루기 번거롭습니다. 그런데 두 식을 함께 정리하면 제곱이 없는 훨씬 편한 관계가 나옵니다.

$v_{1} - v_{2} = - (v_{1}^{'} - v_{2}^{'})$

즉 접근하는 상대 속도와 멀어지는 상대 속도의 크기가 같습니다. 서로 $5 m/s$ 로 다가갔다면 충돌 후에도 서로 $5 m/s$ 로 멀어집니다. 실전에서는 제곱이 있는 에너지 식 대신 이 식과 운동량 보존식을 연립하는 것이 훨씬 빠릅니다.

원자 수준의 충돌이나 당구공, 강철 구슬처럼 잘 튀는 물체의 충돌이 탄성 충돌에 가깝습니다. 완벽한 탄성 충돌은 이상적인 모형이지만, 비탄성 충돌과 함께 실제 충돌의 두 극단을 이룹니다.

이렇게 나타납니다

예시 1

같은 질량의 정면 탄성 충돌 — 속도 교환

$m_{1} = m_{2} ⟹ v_{1}^{'} = v_{2}, v_{2}^{'} = v_{1}$

질량이 같으면 두 물체가 속도를 통째로 맞바꿉니다. 당구에서 흰 공이 정지한 공을 정면으로 맞히면 흰 공이 그 자리에 서고 맞은 공이 대신 굴러가는 것이 이 결과입니다.
예시 2

가벼운 공이 아주 무거운 벽에 부딪힐 때

$m_{2} ≫ m_{1} ⟹ v_{1}^{'} \approx - v_{1}, v_{2}^{'} \approx 0$

공은 같은 속력으로 되튀고 벽은 거의 움직이지 않습니다. 상대 속도 관계로 보면 당연합니다 — 벽이 멈춰 있으므로 공이 다가온 속력 그대로 멀어져야 합니다.
예시 3

무거운 공이 아주 가벼운 공을 때릴 때

$m_{1} ≫ m_{2} ⟹ v_{1}^{'} \approx v_{1}, v_{2}^{'} \approx 2 v_{1}$

무거운 공은 거의 그대로 지나가고, 가벼운 공은 때린 속도의 약 두 배로 튀어 나갑니다. 상대 속도의 크기가 유지되려면 그래야 합니다.

순서대로 하면

일차원 탄성 충돌 푸는 순서

1한 방향을 (+)로 정하고 네 개의 속도 $v_{1}, v_{2}, v_{1}^{'}, v_{2}^{'}$ 를 부호까지 적습니다.
2운동량 보존식 $m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$ 를 씁니다.
3에너지 식 대신 상대 속도 관계 $v_{1} - v_{2} = - (v_{1}^{'} - v_{2}^{'})$ 를 씁니다. 제곱이 없어 훨씬 빠릅니다.
4두 일차식을 연립해 $v_{1}^{'}$ , $v_{2}^{'}$ 를 구합니다.
5구한 답을 에너지 식에 넣어 $\frac{1}{2} m v^{2}$ 의 합이 맞는지 검산합니다.

탄성 충돌 vs 비탄성 충돌

구분	탄성 충돌	비탄성 충돌
운동량	보존	보존
운동 에너지	보존	일부가 열·소리·변형으로 빠져나감
충돌 후	각자 따로 움직임	따로 움직이기도 하고, 완전 비탄성이면 붙어서 함께 움직임
상대 속도	접근 속력 = 멀어지는 속력	멀어지는 속력이 더 작음
예	당구공, 강철 구슬, 기체 분자	찰흙 덩어리, 자동차 충돌, 대부분의 실제 충돌

자주 하는 오해

'탄성'을 '물체가 딱딱하다'는 뜻으로 이해하기

이렇게 생각하기 쉬움쇠구슬처럼 단단한 물체의 충돌이 탄성 충돌이다

실제로는탄성인지 아닌지는 재질의 단단함이 아니라 운동 에너지가 되돌아오는가로 정해집니다.

충돌하면 어떤 물체든 순간적으로 찌그러집니다. 문제는 그다음입니다. 찌그러진 모양이 원래대로 완전히 되돌아오면서 저장했던 에너지를 전부 내놓으면 탄성, 일부가 열이나 영구 변형으로 남으면 비탄성입니다. 찰흙은 찌그러진 채로 있어서 에너지를 돌려주지 못합니다.

충돌 도중에도 운동 에너지가 계속 보존된다고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움탄성 충돌이니까 충돌하는 내내 운동 에너지의 합이 일정하다

실제로는충돌하는 '도중'에는 운동 에너지가 줄었다가 다시 돌아옵니다. 보존은 충돌 전과 후를 비교했을 때의 이야기입니다.

두 물체가 가장 세게 눌린 순간에는 운동 에너지의 상당 부분이 변형된 물체 속의 탄성 퍼텐셜 에너지로 잠시 저장됩니다. 탄성 충돌의 핵심은 이 저장분이 '전부 다시 운동 에너지로 돌아온다'는 것이지, 애초에 줄어들지 않는다는 뜻이 아닙니다.

선수 개념 — 이걸 먼저 알아야 해요

운동량 보존 법칙고2

이후 개념 — 이 개념을 배우면 이어집니다

없음 — 이 개념이 마지막입니다

같은 단원의 개념 — 힘과 에너지

자주 묻는 질문

Q1정말 완벽한 탄성 충돌이 있나요?

일상의 물체 사이에서는 없습니다. 아무리 잘 튀는 공도 소리가 나는데, 그 소리도 에너지입니다. 다만 기체 분자끼리의 충돌이나 원자·소립자 사이의 충돌은 탄성 충돌로 아주 잘 근사됩니다.

Q2상대 속도 식은 어떻게 나오나요?

운동량 보존식을

m_{1} (v_{1} - v_{1}^{'}) = m_{2} (v_{2}^{'} - v_{2})

로, 에너지 보존식을

m_{1} (v_{1}^{2} - v_{1}^{'2}) = m_{2} (v_{2}^{'2} - v_{2}^{2})

로 정리한 뒤 두 식을 나누면 됩니다.

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

로 인수분해하면

v_{1} + v_{1}^{'} = v_{2} + v_{2}^{'}

가 나오고, 이를 옮기면 상대 속도 식이 됩니다.

Q3당구에서 흰 공이 정말 완전히 멈추나요?

정면으로 정확히 맞히고 회전이 없다면 거의 멈춥니다. 실제로는 공이 굴러가는 회전과 약간의 에너지 손실 때문에 조금 따라가는 것이 보통입니다. 이론이 예측한 극단적인 결과가 눈앞에서 거의 그대로 보이는 드문 사례입니다.

교육과정 2022 개정 · 고2 물리학 · 힘과 에너지 수록 심화 (교육과정 밖 확장 개념)

출처 교육부 고시 제2022-33호 (2022 개정 교육과정) · NCIC 국가교육과정정보센터

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