물리학 고2 힘과 에너지

포물선 운동

Q: 비스듬히 던지면 어떻게 달라지나요?

처음 속도를 v0(수평)와 v0(연직)로 나누는 단계가 하나 더 붙을 뿐, 그다음은 똑같습니다. 수평은 등속, 연직은 등가속도로 따로 풉니다.

Q: 왜 궤도가 포물선인가요?

x = v0 t에서 t = xv0를 y = 12gt2에 넣으면 y = g2v02x2이 됩니다. y가 x의 제곱에 비례하므로 이차함수, 즉 포물선입니다.

수평 등속과 수직 등가속도가 합성된 포물선 궤도를 성분 분리로 분석한다. (12물리01-02)

중력만 받으며 날아가는 물체의 운동으로, 수평 방향은 등속 직선 운동, 연직 방향은 등가속도 운동이 동시에 일어나 궤도가 포물선이 됩니다.

포물선 운동은 두 개의 운동을 겹쳐 놓은 것입니다. 수평으로는 아무 일 없이 일정하게 흘러가고, 수직으로는 자유 낙하가 따로 진행됩니다. 두 영화를 같은 화면에 겹쳐 튼 것이라고 보면 됩니다.

쉽게 말하면

포물선 운동을 어렵게 만드는 것은 궤도가 곡선이라는 점인데, 해법은 의외로 단순합니다. 수평과 연직을 완전히 분리해서 따로 다루면 됩니다.

중력은 아래쪽으로만 작용합니다. 수평 방향으로는 힘이 전혀 없으므로 수평 속도는 처음 그대로 유지됩니다(등속 직선 운동). 연직 방향으로는 중력 가속도 $g$ 가 작용하므로 등가속도 운동이 됩니다.

$x = v_{0} t y = \frac{1}{2} g t^{2}, v_{y} = g t$

두 방향은 서로 아무런 영향을 주지 않습니다. 수평으로 빨리 던지든 느리게 던지든, 떨어지는 데 걸리는 시간은 똑같습니다. 두 운동을 이어 주는 유일한 끈은 '시간'뿐입니다. 그래서 대부분의 문제가 '한쪽 방향에서 시간을 구해 다른 쪽에 넘긴다'는 한 가지 구조를 따릅니다.

대개는 높이에서 시간을 먼저 구합니다. $h = \frac{1}{2} g t^{2}$ 에서 $t = \frac{2 h}{g}$ 를 얻고, 그 $t$ 를 수평 식에 넣으면 수평 도달 거리 $x = v_{0} t$ 가 나옵니다. 이 분리 전략이 포물선 운동의 전부입니다.

이렇게 나타납니다

예시 1

높이 $20 m$ 절벽에서 수평으로 $10 m/s$ 로 던졌을 때

$t = \frac{2 h}{g} = \frac{2 ( 20 )}{9.8} \approx 2.0 s, x = v_{0} t \approx 20 m$

연직 방향에서 시간을 구해 수평 방향으로 넘겼습니다. 수평 초속도는 낙하 시간에 아무 영향을 주지 않습니다.
예시 2

동시에 떨어뜨린 공과 수평으로 발사한 공

같은 높이에서 한 공은 그냥 놓고, 다른 공은 수평으로 세게 쏘면 두 공은 동시에 바닥에 닿습니다. 연직 방향으로는 둘 다 똑같이 자유 낙하 중이기 때문입니다. 수평 운동은 낙하와 아무 상관이 없습니다.
예시 3

속도의 방향은 계속 바뀐다

$v_{x}$ 는 일정하고 $v_{y}$ 는 점점 커지므로, 합성한 속도의 방향은 점점 아래로 기울어집니다. 궤도의 접선 방향이 곧 속도의 방향입니다. 반면 가속도는 시종일관 아래쪽 $g$ 로 일정합니다.

순서대로 하면

포물선 운동 문제 푸는 순서

1수평( $x$ )과 연직( $y$ )을 두 개의 다른 문제로 나눠 적습니다. 표를 두 칸으로 그리면 실수가 줄어듭니다.
2수평: 힘이 없으므로 $a_{x} = 0$ , $v_{x} = v_{0}$ 로 일정, $x = v_{0} t$ .
3연직: 중력만 있으므로 $a_{y} = g$ , 처음 연직 속도가 0이면 $v_{y} = g t$ , $y = \frac{1}{2} g t^{2}$ .
4주어진 조건이 있는 쪽에서 시간 $t$ 를 먼저 구합니다. 대개 높이가 주어지므로 연직 쪽입니다.
5구한 $t$ 를 다른 방향의 식에 넣습니다. 두 방향을 잇는 다리는 시간뿐입니다.

자주 하는 오해

수평으로 빨리 던지면 늦게 떨어진다고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움세게 던진 공이 더 멀리 가니까 공중에 더 오래 떠 있다

실제로는같은 높이에서 던졌다면 수평 속도와 무관하게 낙하 시간이 똑같습니다. 더 멀리 가는 것은 같은 시간 동안 수평으로 더 많이 갔기 때문입니다.

중력에는 수평 성분이 없고, 수평 속도는 연직 방향의 가속도에 아무 영향을 주지 않습니다. 두 방향이 완전히 독립이라는 것이 포물선 운동의 핵심 아이디어입니다. 이 사실을 받아들이지 못하면 문제마다 헤매게 됩니다.

최고점에서 가속도가 0이라고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움비스듬히 던진 공이 최고점에서 잠깐 멈추니 가속도도 0이다

실제로는최고점에서 연직 속도

v_{y}

만 0이 됩니다. 수평 속도는 그대로이고, 가속도는 여전히 아래쪽으로

g

입니다.

'속도가 0'과 '가속도가 0'은 전혀 다른 이야기입니다. 만약 최고점에서 가속도가 0이라면 공은 그 자리에 영원히 떠 있어야 합니다. 실제로는 중력이 한순간도 쉬지 않고 아래로 잡아당기고 있어서, 그 지점에서 연직 속도의 부호가 (+)에서 (−)로 넘어갈 뿐입니다.

선수 개념 — 이걸 먼저 알아야 해요

등가속도 운동고2

이후 개념 — 이 개념을 배우면 이어집니다

없음 — 이 개념이 마지막입니다

같은 단원의 개념 — 힘과 에너지

자주 묻는 질문

Q1비스듬히 던지면 어떻게 달라지나요?

처음 속도를

v_{0} cos θ

(수평)와

v_{0} sin θ

(연직)로 나누는 단계가 하나 더 붙을 뿐, 그다음은 똑같습니다. 수평은 등속, 연직은 등가속도로 따로 풉니다.

Q2왜 궤도가 포물선인가요?

x = v_{0} t

에서

t = \frac{x}{v _{0}}

를

y = \frac{1}{2} g t^{2}

에 넣으면

y = \frac{g}{2 v _{0}^{2}} x^{2}

이 됩니다.

y

가

x

의 제곱에 비례하므로 이차함수, 즉 포물선입니다.

Q3공기 저항이 있으면 어떻게 되나요?

궤도가 포물선에서 벗어나 뒤쪽이 더 가파르게 떨어지는 모양이 되고, 수평 도달 거리도 줄어듭니다. 교과과정의 포물선 운동은 공기 저항을 무시한 이상적인 모형입니다.

교육과정 2022 개정 · 고2 물리학 · 힘과 에너지 수록 기본 (교육과정 단원)

출처 교육부 고시 제2022-33호 (2022 개정 교육과정) · NCIC 국가교육과정정보센터

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