물리학 고2 힘과 에너지

운동량 보존 법칙

Q: 왜 '충돌 직전과 직후'로만 따지나요?

충돌 시간이 아주 짧아서 그 사이에 중력이나 마찰 같은 외력이 준 충격량 F t가 거의 0이기 때문입니다. 시간을 길게 잡으면 외력이 쌓여 운동량이 변합니다.

외력이 없는 계에서 충돌 전후 총 운동량이 보존됨을 탄성·비탄성 충돌 사례로 확인한다. (12물리01-03)

외부에서 힘이 작용하지 않는 계에서는 충돌이나 폭발이 일어나도 계 전체의 운동량 합이 변하지 않습니다.

얼음판 위에서 두 사람이 서로 밀면 반대 방향으로 미끄러져 갑니다. 둘의 운동량을 부호까지 더하면 밀기 전과 똑같이 0입니다 — 서로 주고받았을 뿐, 새로 생기거나 사라진 것이 없습니다.

쉽게 말하면

이 법칙은 새로운 가정이 아니라 운동량과 충격량의 정리와 작용-반작용에서 자동으로 따라 나옵니다. 물체 A와 B가 부딪힐 때 A가 B를 미는 힘과 B가 A를 미는 힘은 크기가 같고 방향이 반대이며, 접촉하는 시간도 똑같습니다. 따라서 두 물체가 주고받는 충격량은 크기가 같고 부호가 반대입니다.

$Δ p_{A} = - Δ p_{B} ⟹ Δ p_{A} + Δ p_{B} = 0$

즉 A가 잃은 만큼 정확히 B가 얻습니다. 그래서 둘을 묶어 하나의 '계'로 보면 총합은 변하지 않습니다.

$m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$

조건은 하나뿐입니다 — 외력이 없을 것. 서로 주고받는 힘(내력)은 아무리 커도 상관없습니다. 충돌하는 순간 마찰이나 중력 같은 외력이 준 충격량이 충돌 중의 거대한 내력에 비해 무시할 만하므로, 실제 문제에서는 충돌 직전과 직후에 대해 거의 항상 이 식을 쓸 수 있습니다.

운동량 보존이 강력한 이유는 충돌하는 동안 무슨 일이 벌어지는지 전혀 몰라도 된다는 데 있습니다. 열이 나든 소리가 나든 물체가 부서지든, 운동량의 총합만은 그대로입니다.

이렇게 나타납니다

예시 1

정지해 있던 두 수레가 서로 밀어내는 경우

$0 = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'} ⟹ v_{2}^{'} = - \frac{m _{1}}{m _{2}} v_{1}^{'}$

처음 총 운동량이 0이므로 나중에도 0이어야 합니다. 가벼운 쪽이 더 빠르게 튕겨 나갑니다. 질량이 3배면 속력은 $\frac{1}{3}$ 입니다.
예시 2

총과 총알의 반동

발사 전 총과 총알의 총 운동량은 0입니다. 총알이 앞으로 $m v$ 의 운동량을 가지면 총은 뒤로 $- m v$ 를 가져야 합니다. 총이 훨씬 무거우므로 뒤로 밀리는 속도는 작지만, 운동량의 크기는 총알과 정확히 같습니다.
예시 3

달라붙는 충돌

$m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = (m_{1} + m_{2}) v^{'}$

충돌 후 두 물체가 한 덩어리로 움직이면 미지수가 $v^{'}$ 하나뿐이라, 운동량 보존식 하나만으로 답이 나옵니다.

순서대로 하면

충돌 문제 푸는 순서

1계에 무엇을 포함시킬지 정합니다. 충돌하는 두 물체를 함께 묶어야 서로 주고받는 힘이 내력이 됩니다.
2외력이 무시할 만한지 확인합니다. 충돌 직전과 직후처럼 아주 짧은 시간이면 대개 무시할 수 있습니다.
3한 방향을 (+)로 정하고, 충돌 전 각 물체의 운동량을 부호까지 붙여 더합니다.
4충돌 후 운동량의 합을 같은 방식으로 쓴 뒤 두 값을 등호로 놓고 미지수를 구합니다.
5미지수가 두 개인데 식이 하나뿐이면, 충돌의 종류(탄성인지 달라붙는지)가 알려 주는 조건을 하나 더 씁니다.

자주 하는 오해

충돌에서 운동 에너지도 항상 보존된다고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움운동량이 보존되니까 에너지도 보존되어

\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}

도 충돌 전후가 같다

실제로는운동량은 모든 충돌에서 보존되지만, 운동 에너지는 탄성 충돌에서만 보존됩니다.

충돌하면서 물체가 찌그러지고 열이 나고 소리가 납니다. 그만큼 운동 에너지는 줄어듭니다. 반면 운동량은 작용-반작용 때문에 한쪽이 잃은 만큼 다른 쪽이 그대로 얻으므로, 에너지가 어디로 새든 총합이 유지됩니다. '보존되는 양이 몇 개인가'가 충돌의 종류를 가르는 기준입니다.

속도의 크기만 더해서 운동량을 계산하기

이렇게 생각하기 쉬움

2 kg

이 오른쪽으로

3 m/s

1 kg

이 왼쪽으로

4 m/s

면 총 운동량은

6 + 4 = 10

실제로는

(2) (+ 3) + (1) (- 4) = + 2 kg \cdot m/s

입니다.

운동량은 벡터입니다. 방향이 반대인 운동량은 서로 상쇄됩니다. 이 부호를 놓치면 정면 충돌 문제에서 답이 완전히 달라집니다 — 마주 보고 달려오는 두 물체의 총 운동량은 각자의 운동량 크기의 합이 아니라 차이입니다.

선수 개념 — 이걸 먼저 알아야 해요

운동량과 충격량고2

이후 개념 — 이 개념을 배우면 이어집니다

비탄성 충돌고2 탄성 충돌고2

같은 단원의 개념 — 힘과 에너지

자주 묻는 질문

Q1굴러가던 공이 마찰로 멈추면 운동량이 사라진 것 아닌가요?

공만 보면 그렇지만, 마찰은 지면이 공에 가하는 외력입니다. 공과 지구를 함께 하나의 계로 묶으면 공이 잃은 운동량은 지구가 받습니다. 지구가 워낙 무거워 속도 변화가 측정되지 않을 뿐, 총합은 보존됩니다.

Q2폭발도 운동량 보존인가요?

네. 폭탄이 터질 때 화약이 밀어내는 힘은 전부 계 내부의 힘입니다. 정지해 있던 물체가 터지면 파편들의 운동량을 벡터로 모두 더한 값은 0이 됩니다. 그래서 파편은 항상 여러 방향으로 흩어집니다.

Q3왜 '충돌 직전과 직후'로만 따지나요?

충돌 시간이 아주 짧아서 그 사이에 중력이나 마찰 같은 외력이 준 충격량

F Δ t

가 거의 0이기 때문입니다. 시간을 길게 잡으면 외력이 쌓여 운동량이 변합니다.

교육과정 2022 개정 · 고2 물리학 · 힘과 에너지 수록 기본 (교육과정 단원)

출처 교육부 고시 제2022-33호 (2022 개정 교육과정) · NCIC 국가교육과정정보센터

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