행성의 운동과 케플러 법칙

태양계에서 행성이 태양 주위를 돈다고 배웠습니다. 그런데 '어떤 모양으로, 어떤 속도로 도는가'를 정확히 물으면 이야기가 달라집니다. 케플러는 오랜 세월 쌓인 정밀한 관측 자료를 원 궤도로 설명하려다 끝내 맞지 않자, 원을 포기하고 세 가지 규칙을 찾아냈습니다.

첫째, 타원 궤도 법칙입니다. 행성은 타원 궤도를 돌고, 태양은 타원의 한가운데가 아니라 두 초점 중 하나에 있습니다. 이 때문에 행성과 태양 사이의 거리는 공전하는 동안 계속 달라집니다. 가장 가까워지는 지점을 근일점, 가장 멀어지는 지점을 원일점이라고 합니다.

둘째, 면적 속도 일정 법칙입니다. 행성과 태양을 잇는 선분이 같은 시간 동안 쓸고 지나가는 면적은 언제나 같습니다. 태양에 가까우면 선분이 짧으니 같은 면적을 쓸려면 행성이 많이 움직여야 하고, 멀면 선분이 기니 조금만 움직여도 됩니다. 그래서 근일점 근처에서는 빠르게, 원일점 근처에서는 느리게 움직입니다.

셋째, 조화 법칙입니다. 행성의 공전 주기($T$)의 제곱은 궤도 긴반지름($a$)의 세제곱에 비례합니다.

$$T^2\propto a^3$$

태양에서 멀어지면 거리가 멀어지는 것보다 훨씬 더 크게 주기가 길어진다는 뜻입니다. 그래서 바깥쪽 행성일수록 태양을 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간이 급격히 늘어납니다.

케플러는 이 세 규칙을 관측 자료에서 '찾아낸' 것이지 '설명한' 것은 아니었습니다. 왜 하필 타원인지, 왜 하필 제곱과 세제곱인지는 나중에 뉴턴이 만유인력으로 설명하게 됩니다.