지구과학 고2 태양계 천체와 별과 우주의 진화

케플러 법칙

타원 궤도 법칙(제1), 면적 속도 일정 법칙(제2), 조화 법칙 T²∝a³(제3)을 적용해 행성 운동을 계산한다.

행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 돌고(제1법칙), 같은 시간에 같은 넓이를 쓸며(제2법칙), 공전 주기의 제곱은 궤도 긴반지름의 세제곱에 비례합니다(제3법칙,

T^{2} \propto a^{3}

제1법칙은 궤도의 '모양', 제2법칙은 한 행성이 궤도 위에서 '언제 빨라지는지', 제3법칙은 여러 행성 사이의 '순위표'입니다. 세 법칙이 각각 다른 질문에 답한다는 것만 잡아도 절반은 끝납니다.

쉽게 말하면

행성의 운동에서 겉보기 역행이 지구의 공전 때문임을 보았습니다. 케플러 법칙은 거기서 한 걸음 더 나아가, 행성이 실제로 어떤 궤도를 어떻게 도는지를 관측 자료만으로 정리한 세 문장입니다.

제1법칙(타원 궤도 법칙)은 궤도가 원이 아니라 타원이며, 태양이 그 중심이 아니라 두 초점 중 하나에 있다고 말합니다. 그래서 행성과 태양 사이 거리는 궤도를 도는 동안 계속 변합니다 — 가장 가까운 지점이 근일점, 가장 먼 지점이 원일점입니다.

제2법칙(면적 속도 일정 법칙)은 태양과 행성을 잇는 선분이 같은 시간 동안 항상 같은 넓이를 쓸고 지나간다고 말합니다. 태양에 가까워 선분이 짧으면 넓이를 채우기 위해 빨리 움직여야 하고, 멀어서 선분이 길면 천천히 움직여도 됩니다. 즉 근일점에서 가장 빠르고 원일점에서 가장 느립니다.

제3법칙(조화 법칙)은 여러 행성을 비교합니다. 궤도 긴반지름 $a$ 를 천문단위(AU), 공전 주기 $T$ 를 년으로 재면 $T^{2} = a^{3}$ 이라는 깔끔한 관계가 성립합니다. 멀리 있는 행성은 갈 길이 멀 뿐 아니라 더 느리게 돌기까지 하므로 주기가 훨씬 길어집니다.

케플러는 이 세 법칙을 관측에서 '찾아냈을' 뿐 이유는 몰랐습니다. 그 이유를 준 것이 만유인력입니다. 거리 제곱에 반비례하는 중력이 원운동과 구심력의 구심력으로 작용하면 세 법칙이 모두 수학적으로 따라 나옵니다(케플러 법칙). 그래서 케플러 법칙은 행성뿐 아니라 지구를 도는 인공위성(위성과 궤도 운동)이나 다른 별을 도는 외계 행성에도 그대로 적용됩니다.

이렇게 나타납니다

예시 1

긴반지름이 4 AU인 소행성의 공전 주기

$T^{2} = a^{3} = 4^{3} = 64 \Rightarrow T = 8 년$

거리가 4배가 되어도 주기는 4배가 아니라 8배입니다. 세제곱과 제곱이 엇갈리기 때문에 주기가 거리보다 더 가파르게 늘어납니다.
예시 2

주기를 알고 궤도 크기를 거꾸로 구하기

$T = 8 년 \Rightarrow a^{3} = T^{2} = 64 \Rightarrow a = 4 AU$

제3법칙의 진짜 쓸모는 여기에 있습니다. 하늘에서 직접 잴 수 없는 궤도의 크기를, 눈으로 셀 수 있는 주기 하나로 알아냅니다. 외계 행성의 궤도 반지름도 이 방법으로 구합니다.
예시 3

근일점에서 왜 빨라지는가

$\frac{1}{2} r v \approx 일정$

면적 속도가 일정하다는 것은, 태양과의 거리 $r$ 가 작아지면 속력 $v$ 가 그만큼 커져야 한다는 뜻입니다. 부채꼴의 밑변이 짧아지면 높이를 늘려야 넓이가 유지되는 것과 같습니다.

순서대로 하면

제3법칙으로 계산할 때

1단위를 먼저 맞춥니다. $T^{2} = a^{3}$ 이라는 간단한 꼴은 $T$ 가 '년', $a$ 가 'AU'일 때만 성립합니다.
2구하려는 것이 주기인지 긴반지름인지 확인합니다. 주기를 구하면 $T = a^{3}$ , 긴반지름을 구하면 $a = 3 T^{2}$ 입니다.
3 $a$ 는 '태양과의 현재 거리'가 아니라 타원의 긴반지름(근일점 거리와 원일점 거리의 평균)임을 확인합니다.
4두 천체를 비교할 때는 비로 놓는 것이 편합니다: $(\frac{T _{1}}{T _{2}})^{2} = (\frac{a _{1}}{a _{2}})^{3}$ .

케플러의 세 법칙

구분	제1법칙	제2법칙	제3법칙
별명	타원 궤도 법칙	면적 속도 일정 법칙	조화 법칙
말하는 것	궤도의 모양	한 행성의 속력 변화	여러 행성의 주기 비교
핵심 식·표현	태양은 타원의 한 초점	같은 시간에 같은 넓이	$T^{2} \propto a^{3}$
여기서 알 수 있는 것	근일점과 원일점이 있다	근일점에서 가장 빠르다	먼 행성일수록 훨씬 느리다

자주 하는 오해

'면적 속도가 일정하다'를 '속력이 일정하다'로 읽기

이렇게 생각하기 쉬움제2법칙은 행성이 일정한 속력으로 돈다는 뜻이다

실제로는정반대입니다. 면적 속도가 일정하려면 속력이 계속 변해야 합니다 — 근일점에서 가장 빠르고 원일점에서 가장 느립니다.

일정한 것은 '태양과 행성을 잇는 선분이 쓸고 가는 넓이'이지 행성의 속력이 아닙니다. 선분이 짧은 근일점에서 같은 넓이를 채우려면 더 멀리, 즉 더 빨리 움직여야 합니다. 만약 속력이 일정하다면 원일점 쪽에서 훨씬 넓은 면적을 쓸게 되어 제2법칙이 깨집니다.

타원 궤도 때문에 계절이 생긴다고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움궤도가 타원이니까 태양에 가까운 때가 여름, 먼 때가 겨울이다

실제로는계절은 자전축이 기울어져 있기 때문에 생깁니다. 실제로 북반구가 한겨울일 때 지구는 오히려 태양에 더 가깝습니다.

거리가 원인이라면 남반구와 북반구의 계절이 같아야 하는데, 실제로는 정반대입니다. 게다가 행성 궤도의 타원은 그림에서 과장되어 그려질 뿐 실제로는 원에 매우 가까워서, 지구의 근일점 거리와 원일점 거리의 차이는 몇 %에 지나지 않습니다. 계절을 만들 만큼의 차이가 아닙니다.