물리학 고3 시공간과 운동

만유인력

Q: G와 g는 어떻게 다른가요?

G는 우주 어디서나 같은 값을 갖는 만유인력 상수이고, 단위는 N· m2/kg2입니다. g는 특정 천체의 특정 위치에서의 중력 가속도로 단위가 m/s2이며, g = GM/r2로 계산되는 '결과값'입니다. 그래서 달에서는 g가 달라지지만 G는 그대로입니다.

Q: 사람과 사람 사이에도 만유인력이 작용하나요?

작용합니다. 다만 G가 10-11 수준으로 극히 작아서, 옆 사람과의 인력은 마찰력이나 공기의 흔들림에 비해 완전히 묻힐 만큼 작습니다. 실험실에서 아주 정밀한 장치를 써야 겨우 측정할 수 있는 크기입니다.

뉴턴의 만유인력 법칙(F=GMm/r²)을 이용하여 천체 간 중력과 인공위성 운동을 설명한다.

질량을 가진 모든 두 물체 사이에는 질량의 곱에 비례하고 거리의 제곱에 반비례하는 인력이 작용한다는 법칙으로, 식으로는

F = G \frac{M m}{r ^{2}}

입니다.

뉴턴의 통찰은 '사과를 떨어뜨리는 힘'과 '달을 지구 곁에 붙잡아 두는 힘'이 같은 힘이라는 것이었습니다. 달도 사실은 사과처럼 지구를 향해 계속 떨어지고 있는데, 옆으로 너무 빨리 달려서 땅에 닿지 못할 뿐입니다.

쉽게 말하면

만유인력은 두 질량 사이에 항상 끌어당기는 방향으로 작용합니다.

$F = G \frac{M m}{r ^{2}}, G \approx 6.67 \times 1 0^{- 11} N \cdot m^{2} /k g^{2}$

여기서 $r$ 은 두 물체의 중심 사이 거리입니다. 표면 사이의 간격이 아닙니다. 지구처럼 구형으로 고르게 퍼진 물체는 마치 모든 질량이 중심 한 점에 모여 있는 것처럼 바깥에 힘을 미치기 때문에, 지표에 놓인 물체의 $r$ 는 지구 반지름이 됩니다.

이 식은 지표 근처에서 우리가 쓰던 $F = m g$ 와 모순되지 않습니다. 오히려 $m g$ 가 만유인력의 특수한 경우입니다. $m g = GM m / R^{2}$ 에서 $m$ 을 지우면

$g = \frac{GM}{R ^{2}}$

가 되어, $g$ 가 '지표라는 특정 위치에서의 값'임이 드러납니다. 지구의 질량과 반지름이 정해져 있으니 $g$ 가 $9.8$ 인 것이지, $9.8$ 이 우주의 상수인 것은 아닙니다.

달이 지구를 도는 것은 원운동과 구심력의 문제입니다. 원운동을 유지하려면 중심 방향으로 구심력이 필요한데, 달에게는 만유인력이 바로 그 구심력입니다. 별도의 '궤도를 유지시키는 힘'이 따로 있는 것이 아닙니다 — 잡아당기는 힘 하나와 옆으로 달리는 속도, 이 둘만으로 궤도가 만들어집니다.

$G$ 가 $1 0^{- 11}$ 수준으로 극히 작다는 점도 중요합니다. 그래서 만유인력은 '질량이 천체만큼 클 때'만 존재감을 드러냅니다. 옆 사람과 나 사이에도 만유인력이 작용하지만 그 크기가 너무 작아 아무도 눈치채지 못합니다.

이렇게 나타납니다

예시 1

거리가 2배가 되면 힘은 4분의 1

$F \propto \frac{1}{r ^{2}}$

지구 중심에서 거리가 2배인 곳으로 가면 만유인력은 $1/4$ 이 됩니다. 다만 '높이가 2배'와 '중심 거리가 2배'는 전혀 다릅니다. 중심 거리를 2배로 만들려면 지구 반지름만큼, 즉 약 6,400 km를 더 올라가야 합니다.
예시 2

우주정거장 고도에서도 중력은 거의 그대로다

고도 400 km는 지구 반지름 약 6,400 km에 비하면 6% 정도 덧붙인 것에 불과합니다. $r$ 가 6% 커지면 힘은 약 $1/1.0 6^{2} \approx 0.89$ 배 — 지표의 약 90%가 남습니다. 우주정거장 안이 무중력처럼 보이는 것은 중력이 사라져서가 아니라는 결정적인 증거입니다.
예시 3

$g$ 로 지구의 질량 재기

$M = \frac{g R ^{2}}{G}$

$g = GM / R^{2}$ 를 뒤집으면, 지표에서 잰 $g$ 와 지구 반지름 $R$ , 그리고 실험으로 얻은 $G$ 만으로 지구의 질량을 계산할 수 있습니다. 저울에 올릴 수 없는 것을 재는 방법입니다.

$F = G\dfrac{Mm}{r^2}$ 와 $F = mg$

구분	만유인력 법칙	지표 근처 근사
적용 범위	어디서나, 모든 두 질량 사이	지표 근처에서 높이 변화가 작을 때
거리 의존	$1/ r^{2}$ 로 변함	일정하다고 봄
$r$ 의 의미	두 물체의 중심 사이 거리	쓰지 않음
언제 써야 하나	위성·행성처럼 거리가 크게 변할 때	책상 위 물체, 자유 낙하 문제

자주 하는 오해

지구가 사과를 당기는 힘이 더 크다고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움지구가 훨씬 무거우니 지구가 사과를 당기는 힘이 사과가 지구를 당기는 힘보다 크다

실제로는두 힘의 크기는 정확히 같습니다. 식에도

M

과

m

이 곱으로 함께 들어 있어 어느 쪽에서 보든 값이 같습니다.

만유인력은 작용·반작용 쌍입니다. 크기가 같은데도 결과가 달라 보이는 이유는 가속도가 다르기 때문입니다.

a = F / m

이므로 질량이 어마어마한 지구의 가속도는 사실상 0이고, 가벼운 사과만 눈에 띄게 움직입니다. 힘의 크기와 그 힘이 만드는 가속도를 구분해야 합니다.

r

에 지표로부터의 높이를 넣기

이렇게 생각하기 쉬움지상 300 km에 있는 위성이니

r = 300 km

를 대입한다

실제로는

r

는 지구 중심에서 잰 거리이므로

r = R + h \approx 6, 400 + 300 = 6, 700 km

입니다.

만유인력 법칙은 질량이 중심에 모여 있는 것처럼 취급할 때 성립합니다. 높이

h

를 그대로 넣으면 지구 중심에서 300 km 떨어진 곳을 계산하는 셈이 되어 힘이 터무니없이 커집니다. 이 실수를 하지 않으면 '조금 올라간다고 중력이 크게 줄지 않는다'는 사실도 자연스럽게 보입니다.

선수 개념 — 이걸 먼저 알아야 해요

원운동과 구심력고2

이후 개념 — 이 개념을 배우면 이어집니다

등가 원리와 중력 시간 지연고3 위성과 궤도 운동고3 중력장고3 케플러 법칙고3 탈출 속도와 우주 발사고3

연계 개념 — 과목을 넘어 함께 보면 좋아요

행성의 운동고2 조석고3

같은 단원의 개념 — 시공간과 운동

등가 원리와 중력 시간 지연고3 블랙홀고3 위성과 궤도 운동고3 중력 렌즈고3 중력과 시공간 곡률고3 중력장고3 중력파고3 케플러 법칙고3 탈출 속도와 우주 발사고3

자주 묻는 질문

G

와

g

는 어떻게 다른가요?

G

는 우주 어디서나 같은 값을 갖는 만유인력 상수이고, 단위는

N \cdot m^{2} /k g^{2}

입니다.

g

는 특정 천체의 특정 위치에서의 중력 가속도로 단위가

m/ s^{2}

이며,

g = GM / r^{2}

로 계산되는 '결과값'입니다. 그래서 달에서는

g

가 달라지지만

G

는 그대로입니다.

Q2그러면 우주정거장 안에서는 왜 몸이 뜨나요?

중력이 없어서가 아니라, 우주정거장과 사람이 똑같이 지구를 향해 자유 낙하하고 있기 때문입니다. 함께 떨어지고 있으니 바닥이 발바닥을 밀어 주지 않고, 그 '눌리는 느낌'이 사라진 것을 우리는 무중력이라고 부릅니다. 정확한 표현은 무중량 상태입니다.

Q3사람과 사람 사이에도 만유인력이 작용하나요?

작용합니다. 다만

G

가

1 0^{- 11}

수준으로 극히 작아서, 옆 사람과의 인력은 마찰력이나 공기의 흔들림에 비해 완전히 묻힐 만큼 작습니다. 실험실에서 아주 정밀한 장치를 써야 겨우 측정할 수 있는 크기입니다.

교육과정 2022 개정 · 고3 물리학 · 시공간과 운동 수록 기본 (교육과정 단원)

출처 교육부 고시 제2022-33호 (2022 개정 교육과정) · NCIC 국가교육과정정보센터

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