등가 원리와 중력 시간 지연

만유인력을 배울 때 이미 이상한 점을 하나 지나쳤습니다. 중력의 세기를 정하는 질량($F=GMm/r^2$의 $m$)과 움직이기 어려운 정도를 정하는 질량($F=ma$의 $m$)이 왜 똑같은 값인가 하는 것입니다. 둘은 원래 아무 상관이 없어도 되는 양인데, 실험으로 재 보면 소수점 아래 아주 멀리까지 일치합니다. 이 일치 때문에 모든 물체가 질량과 무관하게 같은 가속도로 떨어집니다. 아인슈타인은 이것을 '우연한 일치'가 아니라 출발점으로 삼았습니다. 중력은 힘이라기보다 가속하는 기준틀에서 보이는 효과와 같은 것이라고요.

이것을 뒤집으면 더 재미있습니다. 자유 낙하하는 엘리베이터 안에서는 중력이 사라진 것처럼 보입니다. 우주정거장의 무중력이 바로 이것입니다 — 지구 중력이 없어서가 아니라(그 고도에서도 중력은 지표의 90% 가까이 됩니다), 정거장과 사람이 함께 자유 낙하하고 있어서 서로에 대해 뜬 것처럼 보이는 것입니다.

등가 원리를 받아들이면 시간에 대한 결론이 강제로 따라옵니다. 가속하는 로켓의 바닥에서 천장으로 빛 신호를 쏘면, 신호가 올라가는 동안 로켓이 더 빨라져 있으므로 천장은 신호에서 멀어지는 쪽으로 움직입니다. 도플러 효과로 천장이 받는 빛의 진동수는 낮아집니다. 등가 원리에 따르면 중력장 안에서도 똑같은 일이 일어나야 합니다. 즉 낮은 곳(중력이 강한 곳)에서 보낸 신호는 높은 곳에서 진동수가 낮게 관측됩니다. 빛의 진동수는 그 자체가 시계이므로, 이것은 낮은 곳의 시계가 느리게 간다는 뜻입니다.

$$\frac{\Delta f}{f}\approx \frac{gh}{c^2}$$

$c^2$이 분모에 있으니 지상에서는 효과가 터무니없이 작습니다. 그래도 실험실 탑 높이에서 감마선의 진동수 변화를 재는 실험으로 확인되었고, 오늘날에는 원자시계를 몇십 센티미터만 들어 올려도 차이가 측정됩니다. 이 논리를 끝까지 밀고 가면 중력을 시공간의 기하학으로 다시 쓰게 되는데, 그것이 중력과 시공간 곡률입니다.