물리학 고3 시공간과 운동 심화

중력장

Q: 중력장 세기 g와 중력 가속도 g는 같은 것인가요?

같은 값이고 단위도 m/s2로 같습니다. 다만 보는 관점이 다릅니다. '단위 질량이 받는 힘'으로 보면 중력장 세기, '자유 낙하할 때의 가속도'로 보면 중력 가속도입니다. 둘이 항상 같다는 사실 자체가 나중에 등가 원리의 출발점이 됩니다.

중력장 세기(g=GM/r²)와 중력 퍼텐셜 에너지를 이용해 위성 궤도와 탈출 조건을 분석한다.

질량이 주변 공간에 만들어 놓은 '당기는 성질'을 장으로 나타낸 것으로, 세기는

g = G \frac{M}{r ^{2}}

이고 그 안에 놓인 질량

m

의 퍼텐셜 에너지는

U = - G \frac{M m}{r}

입니다.

중력장은 지구가 만들어 놓은 '보이지 않는 깔때기'입니다. 물체를 어디에 놓든 그 지점의 기울기가 이미 정해져 있고, 물체는 그 기울기를 따라 굴러갈 뿐입니다.

쉽게 말하면

만유인력 식 $F = GM m / r^{2}$ 을 물체의 질량 $m$ 으로 나누면 $m$ 이 사라집니다.

$g = \frac{F}{m} = \frac{GM}{r ^{2}}$

남은 $g$ 에는 시험 물체의 정보가 전혀 없습니다. 오직 중심 천체의 질량 $M$ 과 거리 $r$ 만 들어 있지요. 즉 $g$ 는 '그 자리에 무엇을 갖다 놓든 상관없이 그 공간이 이미 갖고 있는 성질'입니다. 이것이 힘 대신 장을 도입하는 이유입니다 — 물체를 하나씩 짝지어 힘을 계산하는 대신, 공간에 미리 지도를 그려 두고 나중에 질량만 곱하면 됩니다.

에너지도 마찬가지로 다시 씁니다. 무한히 먼 곳을 기준(0)으로 잡으면 중력 퍼텐셜 에너지는

$U = - \frac{GM m}{r}$

입니다. 음의 부호가 붙는 이유는 '갇혀 있다'는 뜻이기 때문입니다. 물체를 무한히 멀리 떼어내려면 에너지를 넣어 주어야 하므로, 지금 상태는 기준보다 낮은 곳에 있는 셈입니다. 이 부호를 이해하면 궤도 문제의 절반이 풀립니다.

역학적 에너지 $E = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{GM m}{r}$ 의 부호가 곧 운명을 결정합니다. $E < 0$ 이면 아무리 멀리 가도 $r$ 가 유한한 값에서 멈추므로 천체에 묶인 궤도를 돌고, $E \geq 0$ 이면 무한히 멀어질 수 있습니다. 위성이 궤도에 머무느냐 우주로 떠나느냐가 이 한 줄로 갈립니다.

이렇게 나타납니다

예시 1

고도가 지구 반지름만큼이면 $g$ 는 4분의 1

$g^{'} = \frac{GM}{( 2 R ) ^{2}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{GM}{R ^{2}} = \frac{g}{4}$

지표에서 지구 반지름만큼 더 올라가면 중심 거리는 $2 R$ 가 되고, 중력장 세기는 $9.8$ 의 $1/4$ 인 약 $2.45 m/ s^{2}$ 가 됩니다. 거리가 두 배라고 힘이 절반이 되는 것이 아닙니다.
예시 2

$U = m g h$ 는 언제까지 써도 되는가

$Δ U = - \frac{GM m}{R + h} + \frac{GM m}{R} \approx m g h (h ≪ R)$

$h$ 가 지구 반지름에 비해 아주 작으면 $- GM m / r$ 곡선의 그 구간이 거의 직선이어서 $m g h$ 로 근사할 수 있습니다. 건물 옥상이라면 훌륭한 근사이지만, 정지 궤도 높이라면 오차가 엄청나게 커집니다.
예시 3

역학적 에너지의 부호가 궤도를 정한다

$E = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{GM m}{r}$

$E < 0$ 이면 속박 궤도(원·타원)를 돌고, $E = 0$ 이면 아주 느려지면서 겨우 무한히 멀어지며, $E > 0$ 이면 멀리서도 속력이 남아 있는 채로 떠납니다. 탈출 속도는 바로 $E = 0$ 이 되는 경계 조건입니다.

순서대로 하면

중력장 문제를 푸는 순서

1중심 천체의 질량 $M$ 과, 중심으로부터의 거리 $r = R + h$ 를 먼저 확정합니다.
2힘이 필요하면 $F = m g$ 가 아니라 $g = GM / r^{2}$ 을 구해 곱합니다.
3에너지가 필요하면 $h$ 가 $R$ 에 비해 충분히 작은지 확인합니다. 작지 않으면 $m g h$ 를 버리고 $U = - GM m / r$ 를 씁니다.
4 $U$ 의 음의 부호를 빠뜨리지 않습니다. 부호를 잃으면 속박 궤도인지 탈출인지 판정할 수 없게 됩니다.

$U = mgh$ 와 $U = -\dfrac{GMm}{r}$

구분	$U = m g h$	$U = - GM m / r$
기준점(0인 곳)	지면 등 임의로 잡은 높이	무한히 먼 곳
가정	$g$ 가 일정 — 지표 근처만	가정 없음 — 어디서나
부호	기준 위에서는 (+)	항상 (−)
쓰는 상황	높이가 수십~수백 m 수준	위성 궤도, 탈출 속도, 행성 간 이동

자주 하는 오해

퍼텐셜 에너지가 음수인 것을 '에너지가 없다'로 읽기

이렇게 생각하기 쉬움

U

가 음수라니 에너지가 마이너스라는 뜻인가? 뭔가 잘못 계산한 것 같다

실제로는부호는 기준점을 무한대로 잡았다는 표시일 뿐입니다. 물리적으로 의미가 있는 것은

U

의 값이 아니라 두 지점 사이의 차이입니다.

무한히 먼 곳을 0으로 정했고, 지구에 가까이 있는 물체를 그곳까지 끌어내려면 에너지를 넣어 줘야 합니다. 그러니 지금 상태는 0보다 '낮은' 값일 수밖에 없습니다. 음수라는 것은 곧 '중력에 갇혀 있다'는 뜻이고, 이 값이 0에 도달하는 순간이 탈출의 경계입니다.

위성 문제에

m g h

를 그대로 쓰기

이렇게 생각하기 쉬움고도 36,000 km 정지 궤도까지 올리는 데 필요한 에너지는

m g h

로 계산한다

실제로는

g

가 그 높이에서는 지표의 수십 분의 일로 줄어들므로

m g h

는 쓸 수 없습니다.

U = - GM m / r

의 차이로 계산해야 합니다.

m g h

는 '

g

가 변하지 않는다'는 가정 위에 세워진 근사식입니다. 고도가 지구 반지름과 비슷해지는 순간 그 가정이 무너집니다. 근사식을 쓸 때는 항상 그 근사가 성립하는 조건(

h ≪ R

)을 함께 기억해야 합니다.

선수 개념 — 이걸 먼저 알아야 해요

만유인력고3

이후 개념 — 이 개념을 배우면 이어집니다

없음 — 이 개념이 마지막입니다

같은 단원의 개념 — 시공간과 운동

등가 원리와 중력 시간 지연고3 만유인력고3 블랙홀고3 위성과 궤도 운동고3 중력 렌즈고3 중력과 시공간 곡률고3 중력파고3 케플러 법칙고3 탈출 속도와 우주 발사고3

자주 묻는 질문

Q1왜 힘 대신 굳이 '장'이라는 개념을 도입하나요?

물체를 하나 더 놓을 때마다 짝을 지어 힘을 다시 계산하는 대신, 공간에 미리 지도를 그려 두는 편이 훨씬 편하기 때문입니다. 또 힘은 두 물체가 있어야만 말할 수 있지만, 장은 물체가 없어도 그 자리에 존재합니다. 이 관점은 나중에 전기장·자기장, 그리고 중력파를 이해할 때 결정적으로 필요해집니다.

Q2지구 속으로 파고들어 가면

g

는 계속 커지나요?

아닙니다. 지표에서 최대이고, 안으로 들어가면 자기보다 바깥쪽에 있는 껍질의 인력이 서로 상쇄되어 오히려 줄어듭니다. 중심에서는 사방에서 당기는 힘이 균형을 이루어 0이 됩니다.

g = GM / r^{2}

은 물체 바깥에서만 성립하는 식입니다.

Q3중력장 세기

g

와 중력 가속도

g

는 같은 것인가요?

같은 값이고 단위도

m/ s^{2}

로 같습니다. 다만 보는 관점이 다릅니다. '단위 질량이 받는 힘'으로 보면 중력장 세기, '자유 낙하할 때의 가속도'로 보면 중력 가속도입니다. 둘이 항상 같다는 사실 자체가 나중에 등가 원리의 출발점이 됩니다.

교육과정 2022 개정 · 고3 물리학 · 시공간과 운동 수록 심화 (교육과정 밖 확장 개념)

출처 교육부 고시 제2022-33호 (2022 개정 교육과정) · NCIC 국가교육과정정보센터

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$E = 0$ 이라는 경계 조건이 실제로 어떤 속도를 요구하는지는 탈출 속도와 우주 발사에서 계산합니다.

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