물리학 고3 시공간과 운동 심화

탈출 속도와 우주 발사

역학적 에너지 보존을 이용하여 행성별 탈출 속도를 구하고, 운동량 보존으로 로켓 발사 원리를 설명한다.

천체의 중력을 이기고 무한히 멀어지기 위해 필요한 최소 발사 속력으로, 역학적 에너지 보존에서

v_{탈출} = \frac{2 GM}{R}

이 나옵니다. 지구에서는 약

11.2 km/s

입니다.

깊은 우물 바닥에서 공을 던져 밖으로 내보내는 것과 같습니다. 우물이 깊을수록(질량이 크고 반지름이 작을수록) 더 세게 던져야 하고, 딱 우물 입구에 도달해 멈출 만큼만 던지면 그것이 최소 속력입니다.

쉽게 말하면

탈출의 조건은 힘이 아니라 에너지로 따집니다. 만유인력 아래에서 물체의 역학적 에너지는 $E = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{GM m}{r}$ 이고, '무한히 멀어질 수 있다'는 것은 $r \to \infty$ 에서 속력이 0 이상으로 남는다는 뜻입니다. 딱 0이 되는 경계가 최소 조건이므로 $E = 0$ 으로 놓습니다.

$\frac{1}{2} m v^{2} - \frac{GM m}{R} = 0 ⟹ v = \frac{2 GM}{R}$

여기서도 물체의 질량 $m$ 이 지워집니다. 볼펜 한 자루든 우주선이든 탈출에 필요한 속력은 같습니다. 다만 필요한 에너지는 $\frac{1}{2} m v^{2}$ 이므로 질량에 비례해 커집니다 — 로켓이 무거우면 힘든 이유는 속도 문턱이 높아져서가 아니라 그 속도를 만드는 데 드는 에너지가 커지기 때문입니다.

케플러 법칙과 위성과 궤도 운동에서 본 원궤도 속력 $v_{궤도} = GM / R$ 과 비교하면 관계가 선명합니다.

$v_{탈출} = 2 v_{궤도}$

즉 궤도에 올리는 것보다 약 1.41배만 더 빠르면 아예 떠날 수 있습니다. 지구 표면 기준으로 궤도 속력이 약 $7.9 km/s$ , 탈출 속력이 약 $11.2 km/s$ 인 것이 이 관계입니다.

로켓이 이 속도를 얻는 방법은 운동량 보존입니다. 연료를 태워 만든 기체를 뒤로 매우 빠르게 내뿜으면, 그 반작용으로 로켓이 앞으로 밀립니다. 로켓은 공기를 밀어서 나아가는 것이 아니므로 진공에서도 똑같이 작동합니다. 그리고 연료가 줄어들수록 로켓이 가벼워져 같은 추력으로도 가속이 커지므로, 다 쓴 연료통을 버리는 다단 로켓이 유리합니다.

이렇게 나타납니다

예시 1

지구와 달의 탈출 속도

$v = \frac{2 GM}{R}$

지구는 약 $11.2 km/s$ , 달은 약 $2.4 km/s$ 입니다. 달은 질량이 작고 반지름도 작지만 질량 쪽이 훨씬 크게 줄어들어 탈출 속도가 지구의 5분의 1 수준입니다. 아폴로 달 착륙선의 상승 단이 작고 단순해도 되었던 이유입니다.
예시 2

탈출 속도는 발사 '방향'과 무관하다

에너지 보존에는 방향이 들어가지 않습니다. 위로 쏘든 비스듬히 쏘든(땅에 부딪히지만 않는다면) 필요한 최소 속력은 같습니다. 실제로 로켓을 비스듬히 눕히는 것은 탈출 조건 때문이 아니라, 지구 자전 속도를 빌리고 대기를 빨리 벗어나기 위해서입니다.
예시 3

왜 지구에는 대기가 있고 달에는 없는가

기체 분자도 각자의 속력으로 돌아다닙니다. 어떤 천체의 탈출 속도가 그 기체 분자들의 평균 속력에 비해 충분히 크지 않으면, 빠른 분자들이 하나둘 우주로 달아나 오랜 시간에 걸쳐 대기가 사라집니다. 달의 탈출 속도 $2.4 km/s$ 는 그러기에 너무 작습니다.

순서대로 하면

탈출 속도 문제 푸는 순서

1힘이 아니라 에너지로 접근한다고 정합니다. $E = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{GM m}{r}$ 을 씁니다.
2퍼텐셜 에너지에 $m g h$ 가 아니라 $- GM m / r$ 를 씁니다. 거리가 크게 변하므로 $m g h$ 는 쓸 수 없습니다.
3'무한히 멀어져 겨우 멈춘다'는 조건을 $E = 0$ 으로 번역합니다.
4 $r$ 에 출발 지점의 중심 거리(지표에서 쏜다면 천체의 반지름 $R$ )를 넣고 $v$ 를 구합니다.
5물체의 질량 $m$ 은 반드시 약분되어 사라집니다. 남아 있다면 식을 잘못 세운 것입니다.

자주 하는 오해

탈출 속도를 '계속 유지해야 하는 속도'로 이해하기

이렇게 생각하기 쉬움지구를 벗어나려면

11.2 km/s

를 끝까지 유지해야 한다

실제로는엔진을 끈 채 출발할 때 필요한 최소 '초기' 속력입니다. 출발 후에는 중력에 의해 계속 느려지며, 무한히 먼 곳에서 속력이 0에 가까워집니다.

탈출 속도는 '한 번에 몰아서 주는' 경우의 문턱입니다. 엔진을 계속 켠 채 아주 천천히 밀고 올라간다면

11.2 km/s

를 한 번도 넘기지 않고도 지구를 벗어날 수 있습니다. 실제 우주 탐사선이 그렇게 합니다. 이 값은 '속도의 최저선'이 아니라 '자유 비행으로 탈출할 때의 에너지 문턱'을 속도로 번역한 것입니다.

무거운 로켓일수록 탈출 속도가 크다고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움로켓이 무거우니 더 빠른 속도로 발사해야 지구를 벗어날 수 있다

실제로는탈출 속도는 발사체의 질량과 무관합니다.

v = 2 GM / R

에는

M

(천체 질량)만 있고

m

은 없습니다.

무거우면 중력을 더 크게 받지만, 그만큼 운동에너지도

\frac{1}{2} m v^{2}

로 커져 정확히 상쇄됩니다. 무거워서 힘든 것은 속도 문턱이 아니라 그 속도를 만드는 데 드는 에너지와 연료입니다. 힘과 에너지, 속도를 구분하지 못하면 이 지점에서 반드시 막힙니다.

선수 개념 — 이걸 먼저 알아야 해요

만유인력고3 케플러 법칙고3

이후 개념 — 이 개념을 배우면 이어집니다

블랙홀고3

같은 단원의 개념 — 시공간과 운동

등가 원리와 중력 시간 지연고3 만유인력고3 블랙홀고3 위성과 궤도 운동고3 중력 렌즈고3 중력과 시공간 곡률고3 중력장고3 중력파고3 케플러 법칙고3

자주 묻는 질문

Q1탈출 속도보다 느리게 쏘면 어떻게 되나요?

역학적 에너지가 음수이므로 지구에 묶여 있습니다. 대기와 지면을 무시하면 길쭉한 타원 궤도를 그리며 되돌아오고, 실제로는 대기를 뚫고 떨어집니다. 궤도 속력 이상 탈출 속력 미만이면 지구 주위를 도는 궤도에 안착할 수 있습니다.

Q2로켓은 공기를 밀어서 나아가나요?

아닙니다. 로켓은 자기 몸에서 뿜어낸 기체와 운동량을 주고받습니다. 뒤로 나간 기체의 운동량만큼 로켓이 앞으로 운동량을 얻습니다. 그래서 밀 공기가 전혀 없는 우주 공간에서도 잘 작동합니다. 오히려 대기는 저항으로 방해가 됩니다.

Q3왜 로켓을 여러 단으로 나누나요?

연료가 든 탱크를 다 쓰고도 계속 끌고 가면 그 빈 껍데기까지 가속시켜야 합니다. 다 쓴 단을 떼어 버리면 남은 로켓이 가벼워져 같은 추력으로도 훨씬 크게 가속됩니다. 최종 속도를 최대한 끌어올리기 위한 선택입니다.

교육과정 2022 개정 · 고3 물리학 · 시공간과 운동 수록 심화 (교육과정 밖 확장 개념)

출처 교육부 고시 제2022-33호 (2022 개정 교육과정) · NCIC 국가교육과정정보센터

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탈출 속도가 빛의 속도보다 커지면 어떤 일이 벌어질까요? 블랙홀에서 그 극단을 봅니다.

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