물리학 고3 시공간과 운동

케플러 법칙

Q: 3법칙의 비례상수는 아무 데서나 같은가요?

아닙니다. T2 = 42GMa3에서 M은 중심 천체의 질량입니다. 태양을 도는 행성들끼리는 같은 상수를 쓰지만, 지구를 도는 위성들은 다른 상수를 씁니다. '태양계 행성과 달을 같은 식에 넣으면 안 된다'는 뜻입니다.

행성 운동의 타원 궤도, 면적 속도 일정, 주기-반지름 관계를 케플러 3법칙으로 이해한다.

행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 돌고(1법칙), 같은 시간 동안 같은 면적을 쓸고 지나가며(2법칙), 공전 주기의 제곱은 궤도 긴반지름의 세제곱에 비례합니다(3법칙).

케플러는 관측 자료만 보고 '이런 규칙이 있다'를 찾아냈고, 뉴턴은 만유인력 한 줄에서 '왜 그런 규칙일 수밖에 없는지'를 이끌어 냈습니다. 케플러 법칙은 뉴턴 역학의 정답지였던 셈입니다.

쉽게 말하면

행성의 운동과 케플러 법칙에서 세 법칙의 내용을 이미 보았다면, 여기서는 그것이 만유인력에서 어떻게 유도되는지가 핵심입니다.

제2법칙(면적 속도 일정)은 중력이 항상 태양을 향한다는 사실 하나에서 나옵니다. 힘의 방향이 태양을 향하면 태양을 기준으로 한 돌림힘이 0이고, 따라서 각운동량이 보존됩니다. 각운동량이 일정하다는 것이 곧 면적 속도가 일정하다는 말입니다. 그래서 태양에 가까운 근일점에서는 빠르게, 먼 원일점에서는 느리게 움직입니다 — 팔을 오므린 피겨 선수가 빨리 도는 것과 같은 이유입니다.

제3법칙은 원궤도로 근사하면 두 줄이면 유도됩니다. 만유인력이 구심력이므로

$\frac{GM m}{r ^{2}} = m (\frac{4 π ^{2} r}{T ^{2}}) ⟹ T^{2} = \frac{4 π ^{2}}{GM} r^{3}$

비례상수 $4 π^{2} / GM$ 에 행성의 질량 $m$ 이 들어 있지 않다는 점이 결정적입니다. 그래서 태양을 도는 모든 행성이 크기와 무관하게 같은 상수를 공유하고, $T^{2} / r^{3}$ 값이 모두 같아집니다. 반대로 중심 천체가 지구로 바뀌면 $M$ 이 달라지므로 상수도 달라집니다 — 지구를 도는 위성들끼리는 자기들만의 상수를 공유합니다.

이 관계를 뒤집으면 천체의 질량을 잴 수 있습니다. 어떤 행성의 위성이 도는 주기와 거리를 관측하기만 하면 $M = 4 π^{2} r^{3} / (G T^{2})$ 로 그 행성의 질량이 나옵니다. 천문학이 손 닿지 않는 천체의 무게를 재는 방법입니다.

이렇게 나타납니다

예시 1

화성의 공전 주기를 거리만으로 예측하기

$T = a^{3/2} = 1.5 2^{3/2} \approx 1.87 년$

주기를 년, 거리를 천문단위(AU)로 재면 태양계에서는 $T^{2} = a^{3}$ 이라는 깔끔한 꼴이 됩니다. 화성의 긴반지름이 약 $1.52 AU$ 이므로 주기는 약 1.87년으로 예측되고, 실제 값과 잘 맞습니다.
예시 2

면적 속도 일정 — 근일점에서 빠른 이유

행성과 태양을 잇는 선분이 같은 시간에 쓸고 지나가는 넓이가 항상 같아야 합니다. 태양에 가까운 곳에서는 선분이 짧으므로, 같은 넓이를 만들려면 옆으로 더 많이 움직여야 합니다. 곧 더 빨라야 합니다. 반대로 먼 곳에서는 선분이 길어 조금만 움직여도 넓은 부채꼴이 생기므로 느려도 됩니다.
예시 3

위성의 주기로 행성의 질량 재기

$M = \frac{4 π ^{2} r ^{3}}{G T ^{2}}$

어떤 행성 주위를 도는 위성의 궤도 반지름과 주기를 망원경으로 관측하면, 위성의 질량은 몰라도 되고 그 행성의 질량이 바로 나옵니다. 3법칙의 비례상수에 중심 천체의 질량만 들어 있기 때문입니다.

케플러 세 법칙 한눈에

법칙	내용	물리적 뿌리
제1법칙(타원 궤도)	행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원을 그린다	중력이 거리의 제곱에 반비례한다는 사실
제2법칙(면적 속도 일정)	같은 시간에 쓸고 지나가는 면적이 같다	중력이 중심을 향하므로 각운동량이 보존된다
제3법칙(조화 법칙)	$T^{2} \propto a^{3}$	만유인력이 구심력 역할을 한다