고등학교 고2-2 함수

연속

함수 f(x)가 x=a에서 연속이려면 ①f(a) 정의, ②극한 존재, ③극한값=함수값 세 조건을 모두 만족해야 합니다.

손을 종이에서 떼지 않고 그릴 수 있는 곡선 — 불연속은 펜을 들어 이동해야 하는 지점입니다.

쉽게 말하면

x=a에서의 연속: lim₍ₓ→ₐ₎f(x) = f(a). 불연속 유형은 ①제거 가능 불연속(구멍), ②점프 불연속(좌·우 극한 다름), ③무한 불연속(발산) 세 가지입니다. 닫힌 구간 [a,b]에서 연속인 함수에 대해 사이값 정리(IVT): f(a)와 f(b) 사이의 모든 값 k에 대해 f(c) = k인 c ∈ (a,b)가 반드시 존재합니다. IVT는 방정식의 실근 존재 증명에 활용됩니다.

숫자로 보는 예시

예시 1

$f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} 은 x = 1 에서 불연속 (제거 가능) \Rightarrow f (1) = 2 재정의 시 연속$

구멍(제거 가능 불연속)을 함수값 재정의로 해소하는 예입니다.
예시 2

$f (x) = {x + 1 x^{2} - 1 x < 2 x \geq 2 에서 x = 2 의 연속 여부$

좌극한: $lim_{x \to 2^{-}} (x + 1) = 3$ , 우극한: $lim_{x \to 2^{+}} (x^{2} - 1) = 3$ , $f (2) = 4 - 1 = 3$ . 좌극한 = 우극한 = $f (2) = 3$ 이므로 $x = 2$ 에서 연속입니다.
예시 3

$f (1) = - 2 < 0, f (2) = 3 > 0 \Rightarrow f 가 [1, 2] 에서 연속이면 f (c) = 0 인 c \in (1, 2) 존재$

사이값 정리로 실근 존재를 증명합니다.

풀이 절차

x=a에서 연속 여부 판정

1 f(a)가 정의되어 있는지 확인합니다. (분모=0, 로그 진수≤0 등 주의)
2 좌극한 lim₍ₓ→ₐ⁻₎f(x)와 우극한 lim₍ₓ→ₐ⁺₎f(x)를 각각 구합니다.
3 좌극한 = 우극한 = L이면 극한값이 L로 존재합니다.
4 L = f(a)이면 연속, 하나라도 다르면 불연속이고 유형을 판정합니다.

자주 하는 실수

매개변수 결정 — 연속 조건 활용

❌ 안 좋은 예

f (x) = {x^{2} + a 2 x - 1 (x \leq 1) (x > 1) 에서 연속 조건 없이 a 결정

✓ 좋은 예

x = 1 에서 연속이려면 lim_{x \to 1^{-}} (x^{2} + a) = lim_{x \to 1^{+}} (2 x - 1) = f (1) . 1 + a = 1 \Rightarrow a = 0

왜요? 연속의 세 조건(함수값 정의·극한 존재·극한값=함수값)을 모두 적용하면 매개변수를 결정할 수 있습니다. 좌극한과 우극한을 같다고 놓는 것이 핵심입니다.

극한이 존재해도 연속이라고 착각

❌ 안 좋은 예 lim₍ₓ→₂₎f(x) = 3이면 f(2)=3이므로 연속

✓ 좋은 예 f(2)를 직접 확인해 3과 같은지 검토 필요

왜요? 극한은 존재하지만 f(2)가 다르거나 정의되지 않으면 불연속입니다.

사이값 정리 적용 조건 미확인

❌ 안 좋은 예 연속이 아닌 함수에 IVT 적용

✓ 좋은 예 닫힌 구간에서 연속인 함수임을 먼저 확인 후 IVT 적용

왜요? IVT는 연속 함수에만 보장됩니다. 불연속 함수에서는 사이값이 없을 수 있습니다.

한쪽 극한만 확인하기

❌ 안 좋은 예 좌극한만 확인하고 연속이라고 결론

✓ 좋은 예 좌극한과 우극한을 모두 구해 두 값이 같고 함수값과도 일치하는지 확인

왜요? 연속의 정의에서 극한은 좌극한 = 우극한 = L(양쪽 일치)여야 합니다. 한쪽만 확인하면 점프 불연속을 놓칩니다.

자가진단 — 풀어보면서 확인하기

아래 문제를 머릿속으로 풀어본 뒤 펼쳐서 정답과 풀이를 확인해 보세요.

Q1 함수 f(x) = (x² - x - 6)/(x - 3) (x ≠ 3), f(3) = k가 x = 3에서 연속이 되도록 하는 k의 값은?

① 7
② 6
③ 5
④ 4

정답 ③ 5

lim(x→3)(x²-x-6)/(x-3) = lim(x→3)(x-3)(x+2)/(x-3) = lim(x→3)(x+2) = 5. 연속이 되려면 k = 5.

Q2 함수 f(x) = x² + ax + b (x ≥ 1), f(x) = cx + 3 (x < 1)이 x = 1에서 연속이다. a = 2, b = 1일 때, 2a + b + c의 값은? (단, a, b, c는 상수)

① 6
② 4
③ 7
④ 5

정답 ① 6

x=1에서 연속 조건은 lim(x→1⁻)f(x) = f(1)이므로 c+3 = 1+a+b. a=2, b=1을 대입하면 c+3 = 4, c = 1. 따라서 2a+b+c = 4+1+1 = 6.

Q3 닫힌 구간 [0, 2]에서 연속인 함수 f(x)에 대하여 f(0) = -2, f(2) = 4이다. 방정식 f(x) = 1의 실근이 반드시 존재하는 이유로 가장 적절한 것은?

① f(0) < 1 < f(2)이고 f가 [0,2]에서 연속이므로 사이값 정리에 의해
② f(0)과 f(2)의 곱이 음수이므로
③ f(x)가 일차함수이므로
④ f의 최댓값이 4이므로 중간값 1이 반드시 존재

정답 ① f(0) < 1 < f(2)이고 f가 [0,2]에서 연속이므로 사이값 정리에 의해

f(0) = -2 < 1 < 4 = f(2)이고, f가 [0, 2]에서 연속이므로 사이값 정리에 의해 f(c) = 1인 c ∈ (0, 2)가 존재합니다.

Q4 함수가 x = a에서 연속이기 위한 조건이 아닌 것은?

①lim(x→a)f(x) = f(a)
②lim(x→a) f(x)가 존재
③f(a) = 0
④f(a)가 정의됨

정답 ③f(a) = 0

연속의 3조건은 함숫값 존재, 극한 존재, 둘이 일치입니다. f(a)=0은 조건이 아닙니다.

Q5 다항함수 f(x) = x² + 1은 어디에서 연속인가?

①모든 실수에서
②x = 0에서만
③연속이 아니다
④x > 0에서만

정답 ①모든 실수에서

다항함수는 모든 실수에서 연속입니다.

개념 미니맵 — 어디에 놓인 개념인가요

자주 묻는 질문

Q1점프 불연속과 제거 가능 불연속의 차이는 무엇인가요?

점프 불연속은 좌·우 극한이 서로 달라 극한 자체가 없고, 제거 가능 불연속은 극한은 존재하지만 함수값이 다르거나 없는 경우입니다.

Q2모든 다항함수는 어디서나 연속인가요?

네. 다항함수는 정의역 전체(실수 전체)에서 연속입니다. 유리함수·무리함수·삼각함수 등은 정의역 내에서만 연속입니다.

Q3사이값 정리는 근이 정확히 몇 개인지 알려 주나요?

아닙니다. IVT는 근이 '적어도 하나 이상 존재함'만 보장합니다. 개수는 추가 분석이 필요합니다.

집필 우주정복치즈케이크 수학팀 최종 검토 2026-05-24

출처 교육부 고시 제2022-33호 · NCIC 국가교육과정정보센터

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연속을 이해했다면 '미분계수·도함수(deriv_def)'로 이어가 극한을 이용한 미분의 정의를 배워 보세요.

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