고등학교 고2-2 함수

미분 법칙

멱함수·합·차·곱·몫의 미분 공식을 사용하면 매번 극한으로 계산하지 않고 도함수를 빠르게 구할 수 있습니다.

구구단 — 곱셈을 매번 덧셈으로 풀지 않듯, 미분 법칙은 극한 계산을 공식으로 단축합니다.

쉽게 말하면

핵심 미분 법칙: ①상수 (c)' = 0, ②멱함수 (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹, ③합·차 (f±g)' = f'±g', ④상수배 (cf)' = cf', ⑤곱 (fg)' = f'g + fg', ⑥몫 (f/g)' = (f'g - fg')/g². 고2 수준에서는 주로 다항함수 미분이 핵심이고, 합성함수 미분(chain rule)은 수능 핵심 도구입니다: [f(g(x))]' = f'(g(x))·g'(x).

숫자로 보는 예시

예시 1

$(3 x^{4} - 2 x^{2} + 5)^{'} = 12 x^{3} - 4 x$

멱함수·합·차·상수배 법칙을 적용한 다항함수 미분입니다.
예시 2

$((x^{2} + 1) (x^{3} - x))^{'} = 2 x (x^{3} - x) + (x^{2} + 1) (3 x^{2} - 1) = 5 x^{4} + 2 x^{2} - 1$

곱의 미분 법칙 f'g + fg'를 적용합니다.
예시 3

$(\frac{x ^{2}}{x + 1})^{'} = \frac{2 x ( x + 1 ) - x ^{2} \cdot 1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + 2 x}{( x + 1 ) ^{2}}$

몫의 미분 법칙 (f'g - fg')/g²를 적용합니다.

풀이 절차

다항함수 도함수 구하기

1 함수를 항별로 분리합니다.
2 각 항에 멱함수 법칙 (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹을 적용합니다.
3 상수 항은 미분하면 0이 됩니다.
4 곱이나 몫이 있으면 해당 공식을 적용하고, 합성함수면 chain rule을 적용합니다.

자주 하는 실수

멱함수 미분에서 지수 감소 누락

❌ 안 좋은 예 (x⁵)' = 5x⁵

✓ 좋은 예 (x⁵)' = 5x⁴

왜요? nxⁿ⁻¹에서 지수가 n에서 n-1로 줄어야 합니다.

곱의 미분을 각각 미분한 곱으로 착각

❌ 안 좋은 예 (fg)' = f'·g'

✓ 좋은 예 (fg)' = f'g + fg'

왜요? 곱의 미분은 곱셈 두 항을 번갈아 미분해 더하는 라이프니츠 규칙을 따릅니다.

자가진단 — 풀어보면서 확인하기

아래 문제를 머릿속으로 풀어본 뒤 펼쳐서 정답과 풀이를 확인해 보세요.

Q1 다항함수 f(x) = x³ - 3x² + 2에 대하여 f'(x) = 0의 두 근의 합은?

① 4
② 2
③ 3
④ 1

정답 ② 2

f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x-2) = 0이므로 두 근은 x = 0과 x = 2. 두 근의 합 = 0 + 2 = 2.

Q2 f(x) = (x² + 1)(2x - 3)의 도함수 f'(x)를 구하면?

① 6x² - 6x - 2
② 6x² + 6x + 2
③ 4x² - 6x + 2
④ 6x² - 6x + 2

정답 ④ 6x² - 6x + 2

곱의 미분: f'(x) = (x²+1)'(2x-3) + (x²+1)(2x-3)' = 2x(2x-3) + (x²+1)·2 = 4x²-6x + 2x²+2 = 6x²-6x+2.

Q3 삼차함수 f(x)가 f(1) = 2, f'(1) = 0, f(3) = 4, f'(3) = 0을 만족할 때, f(2)의 값은?

① 1
② 4
③ 2
④ 3

정답 ④ 3

f'(1) = f'(3) = 0이고 f가 삼차함수이면 f'(x) = a(x-1)(x-3) = a(x²-4x+3). f(x) = a(x³/3 - 2x² + 3x) + C. f(1) = a(1/3-2+3)+C = a(4/3)+C = 2, f(3) = a(9-18+9)+C = C = 4. C = 4이고 a(4/3) = 2-4 = -2, a = -3/2. f(2) = (-3/2)(8/3-8+6)+4 = (-3/2)(2/3)+4 = -1+4 = 3.

Q4 f(x) = x⁴ - 2x² + 5의 도함수 f'(x)는?

①4x³ - 4x
②4x³ - 4x + 5
③4x³ - 2x
④x³ - 4x

정답 ①4x³ - 4x

각 항을 미분하면 (x⁴)' = 4x³, (-2x²)' = -4x, 상수항의 미분은 0이므로 f'(x) = 4x³ - 4x입니다.

Q5 f(x) = 3x² + 2x - 7에서 f'(x)는?

①6x + 2
②6x - 7
③3x + 2
④6x² + 2

정답 ①6x + 2

(3x²)' = 6x, (2x)' = 2, 상수항은 0이므로 f'(x) = 6x + 2입니다.

개념 미니맵 — 어디에 놓인 개념인가요

자주 묻는 질문

Q1상수를 미분하면 왜 0이 되나요?

상수함수는 기울기가 항상 0인 수평선이므로, 접선 기울기(미분계수)도 0입니다.

Q2합성함수 미분(chain rule)은 언제 쓰나요?

(x²+1)³처럼 함수 안에 함수가 있을 때 씁니다. 바깥 함수를 먼저 미분하고, 안쪽 함수의 도함수를 곱합니다.

Q3미분 법칙을 외우는 좋은 방법이 있나요?

멱함수부터 시작해 문제를 많이 풀어 손에 익히는 것이 가장 효과적입니다. 곱·몫 공식은 유도 과정을 이해하면 잊지 않습니다.

집필 우주정복치즈케이크 수학팀 최종 검토 2026-05-24

출처 교육부 고시 제2022-33호 · NCIC 국가교육과정정보센터

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