정적분

쉽게 말하면

부정적분: $F^{\prime }(x)=f(x)$이면 $\int f(x)dx=F(x)+C$. 적분 상수 $C$를 반드시 붙입니다.

기본 공식:
$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n\ne -1),\int e^{x}dx=e^x+C,\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$$
$$\int \sin xdx=-\cos x+C,\int \cos xdx=\sin x+C$$

미적분학 기본 정리: $F^{\prime }(x)=f(x)$이면
$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

정적분은 $x=a$에서 $x=b$까지 $f(x)$와 $x$축 사이의 부호 포함 넓이(넓이와 다름)입니다.

수능에서는 기본 정리를 이용한 미분·적분의 관계, 예를 들어 $\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)$가 자주 활용됩니다.

숫자로 보는 예시

1. 예시 1
   $$\int (3x^2-2x+1)dx=x^3-x^2+x+C$$
   각 항을 거듭제곱 적분 공식으로 처리하고 마지막에 $+C$를 붙입니다.
2. 예시 2
   $${\int }_1^3(2x+1)dx=[x^2+x{]}_1^3=(9+3)-(1+1)=10$$
   기본 정리: 위끝 대입값에서 아래끝 대입값을 뺍니다.
3. 예시 3
   $$\frac{d}{dx}{\int }_0^x\sin t^{2}dt=\sin x^2$$
   기본 정리의 미분형. 적분 변수가 위끝이면 그냥 피적분 함수에 $x$를 대입합니다.
4. 예시 4
   $$\text{속도 }v(t)=2t\text{로 움직이는 점의 }t=0\text{에서 }t=3\text{까지 이동 거리}={\int }_0^{3}2tdt=[t^2{]}_0^3=9$$
   속도가 $v(t)\ge 0$이면 이동 거리 = 변위 = 정적분. 속도가 음수 구간을 포함하면 절댓값 처리가 필요합니다.

풀이 절차

정적분 계산 순서

1. 1 피적분 함수 $f(x)$의 부정적분 $F(x)$를 구합니다.
2. 2 정적분 기호 $[F(x){]}_a^b$를 써서 $F(b)-F(a)$를 계산합니다.
3. 3 계산 결과의 부호를 확인합니다 (음수도 정상, 넓이와 혼동 금지).
4. 4 문제가 넓이를 요구하면 절댓값 처리를 추가합니다.

자주 하는 실수

자가진단 — 풀어보면서 확인하기

아래 문제를 머릿속으로 풀어본 뒤 펼쳐서 정답과 풀이를 확인해 보세요.

개념 미니맵 — 어디에 놓인 개념인가요

자주 묻는 질문