넓이와 적분

쉽게 말하면

두 곡선 사이 넓이: 구간 $[a,b]$에서 $f(x)\ge g(x)$이면
$$S={\int }_a^b\{f(x)-g(x)\}dx$$

두 곡선이 교차하는 경우 교점을 기준으로 구간을 나눠 각 구간에서 절댓값을 취한 뒤 더합니다.

$x$축과의 넓이: $f(x)\ge 0$인 구간에서는 ${\int }_a^{b}f(x)dx$, 음수 구간에서는 $-{\int }_a^{b}f(x)dx$입니다.

$y$축 방향 적분: $x$를 $y$의 함수로 나타내기 쉬운 경우 ${\int }_c^d|p(y)-q(y)|dy$를 사용합니다.

수능에서는 넓이 식을 세운 뒤 정적분 계산과 함수 해석이 모두 요구되므로 교점 좌표 계산부터 정확히 해야 합니다.

숫자로 보는 예시

1. 예시 1
   $$S={\int }_0^2(4-x^2)dx={\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]}_0^2=8-\frac{8}{3}=\frac{16}{3}$$
   $y=4-x^2$과 $x$축 사이의 넓이. 구간 $[0,2]$에서 함수가 음수가 되지 않음을 확인합니다.
2. 예시 2
   $${\int }_{-1}^2((x+2)-x^2)dx={\left[\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-1}^2=\frac{9}{2}$$
   직선 $y=x+2$와 포물선 $y=x^2$의 교점은 $x^2=x+2$ → $(x-2)(x+1)=0$ → $x=-1,2$. 두 곡선 사이 넓이 = $\frac{9}{2}$.
3. 예시 3
   $$S={\int }_0^{\pi }\sin xdx=[-\cos x{]}_0^{\pi }=2$$
   $y=\sin x$와 $x$축 사이 넓이. 구간 $[0,\pi ]$에서 $\sin x\ge 0$입니다.
4. 예시 4
   $$y=x^3\text{과 }y=x\text{의 교점: }{x}^3=x\Rightarrow x=-1,0,1.S={\int }_{-1}^0(x^3-x)dx+{\int }_0^1(x-x^3)dx=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$
   교점이 3개인 경우 구간을 $[-1,0]$과 $[0,1]$로 나누고 각 구간에서 위쪽 함수에서 아래쪽 함수를 뺍니다. 대소 관계가 구간마다 바뀜에 주의합니다.

풀이 절차

넓이 계산 순서

1. 1 두 함수의 교점(또는 주어진 구간의 경계)을 구합니다.
2. 2 구간 안에서 어느 함수가 위에 있는지(대소 관계)를 확인합니다.
3. 3 필요하면 교점을 기준으로 구간을 나눠 적분을 분리합니다.
4. 4 ${\int }_a^b\{f(x)-g(x)\}dx$를 계산하고 답을 양수로 확인합니다.

자주 하는 실수

자가진단 — 풀어보면서 확인하기

아래 문제를 머릿속으로 풀어본 뒤 펼쳐서 정답과 풀이를 확인해 보세요.

개념 미니맵 — 어디에 놓인 개념인가요

자주 묻는 질문