고급 미분

쉽게 말하면

고3 미적분에서는 기본 미분 규칙을 세 가지 함수족으로 확장합니다.

지수함수: $(e^x{)}^{\prime }=e^x$, $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$ ($a>0,a\ne 1$)

로그함수: $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$, $({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$

삼각함수: $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$, $(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$

합성함수에는 연쇄 법칙(chain rule) $\{f(g(x)){\}}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$를 적용합니다.

(아래 음함수 미분·매개변수 미분은 심화 내용이며, 2022 개정 수능 직접 출제 범위 외이지만 응용 수학 학습에 유용합니다.)

음함수 미분: $y$가 $x$의 함수로 명시되지 않아도 양변을 $x$로 미분합니다. 예) $x^2+y^2=1$의 양변을 미분하면 $2x+2y\frac{dy}{dx}=0$이므로 $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$.

매개변수 미분: $x=x(t)$, $y=y(t)$로 주어지면 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$. 예) $x=t^2$, $y=t^3$이면 $\frac{dy}{dx}=\frac{3t^2}{2t}=\frac{3t}{2}$.

수능에서는 이 세 함수족과 연쇄 법칙을 복합적으로 결합한 문항이 자주 출제됩니다.

숫자로 보는 예시

1. 예시 1
   $$f(x)=e^{3x}\Rightarrow f^{\prime }(x)=3e^{3x}$$
   연쇄 법칙: 지수 $3x$를 미분한 3을 앞에 곱합니다.
2. 예시 2
   $$g(x)=\ln (x^2+1)\Rightarrow g^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^2+1}$$
   로그 미분 후 내부 함수 $x^2+1$의 도함수 $2x$를 분자에 씁니다.
3. 예시 3
   $$h(x)={\sin }^{2}x\Rightarrow h^{\prime }(x)=2\sin x\cos x=\sin 2x$$
   거듭제곱 미분 후 $\sin x$의 도함수 $\cos x$를 추가로 곱합니다.

풀이 절차

고급 미분 적용 순서

1. 1 함수의 종류(지수·로그·삼각)를 먼저 파악합니다.
2. 2 합성함수 구조 $f(g(x))$가 있으면 외부 $f$부터 미분합니다.
3. 3 연쇄 법칙으로 내부 함수 $g(x)$의 도함수를 곱합니다.
4. 4 곱의 법칙·몫의 법칙과 함께 쓰일 때는 분리하여 단계별로 계산합니다.

자주 하는 실수

자가진단 — 풀어보면서 확인하기

아래 문제를 머릿속으로 풀어본 뒤 펼쳐서 정답과 풀이를 확인해 보세요.

개념 미니맵 — 어디에 놓인 개념인가요

자주 묻는 질문