고등학교 고2-1 함수

지수함수

y = aˣ (a>0, a≠1) 형태의 함수로, 지수 자리에 변수가 있는 함수입니다.

세균이 30분마다 2배씩 증가하는 모델 — 시간이 지수 자리에 들어가면 폭발적으로 증가합니다.

쉽게 말하면

지수함수 y = aˣ는 밑 a의 값에 따라 성질이 달라집니다. a > 1이면 x가 커질수록 y도 단조 증가하고, 0 < a < 1이면 단조 감소합니다. 그래프는 항상 점 (0, 1)을 지나며 x축이 점근선입니다. 지수방정식은 양변의 밑을 통일해 지수끼리 비교하거나, 치환(t = aˣ)을 이용해 이차방정식으로 변환합니다. 핵심 성질: aˣ > 0 (항상 양수), 역함수는 로그함수입니다.

숫자로 보는 예시

예시 1

$y = 2^{x} 에서 x = 3 \Rightarrow y = 8, x = - 2 \Rightarrow y = \frac{1}{4}$

밑이 2인 지수함수의 기본 계산입니다.
예시 2

$4^{x} = 2^{x + 3} \Rightarrow 2^{2 x} = 2^{x + 3} \Rightarrow 2 x = x + 3 \Rightarrow x = 3$

밑을 통일해 지수방정식을 푸는 과정입니다.
예시 3

$2^{2 x} - 3 \cdot 2^{x} - 4 = 0 t = 2^{x} t^{2} - 3 t - 4 = 0 \Rightarrow t = 4 \Rightarrow x = 2$

치환으로 이차방정식을 만들어 푸는 핵심 테크닉입니다.

풀이 절차

지수방정식 풀기

1 양변의 밑을 같게 만들 수 있는지 확인합니다. (예: 4 = 2², 8 = 2³)
2 밑이 같으면 지수끼리 등치로 놓아 풀거나, 부등호 방향을 결정합니다.
3 밑을 같게 못 만들면 t = aˣ로 치환해 이차방정식 형태로 변환합니다.
4 t > 0 조건을 반드시 확인한 뒤 역치환하여 x를 구합니다.

자주 하는 실수

지수함수 값이 음수일 수 있다고 착각

❌ 안 좋은 예

2^{x} = - 4 의해가존재한다고풀기

✓ 좋은 예

2^{x} > 0 이므로해없음으로처리

왜요? 지수함수는 항상 양수입니다. aˣ = (음수)는 실수 범위에서 해가 없습니다.

부등식에서 밑의 크기에 따른 방향 혼동

❌ 안 좋은 예 0 < a < 1일 때 aˣ < aʸ이면 x < y

✓ 좋은 예 0 < a < 1일 때 aˣ < aʸ이면 x > y (부등호 반전)

왜요? 밑이 1보다 작으면 지수함수가 단조 감소하므로 부등호 방향이 바뀝니다.

자가진단 — 풀어보면서 확인하기

아래 문제를 머릿속으로 풀어본 뒤 펼쳐서 정답과 풀이를 확인해 보세요.

Q1 함수 y = 3ˣ⁻¹ + 2의 점근선과 y절편을 순서대로 나열하면?

① y = 0, y절편 3
② y = 2, y절편 7/3
③ y = 1, y절편 4
④ y = 2, y절편 8/3

정답 ② y = 2, y절편 7/3

y = 3ˣ⁻¹ + 2에서 x→-∞이면 3ˣ⁻¹→0이므로 점근선은 y=2. y절편은 x=0을 대입한 y=3⁻¹+2 = 1/3 + 2 = 7/3.

Q2 방정식 9ˣ - 4·3ˣ - 45 = 0의 실수 해는?

① x = log₃45
② x = 2
③ x = log₃5
④ x = log₃9

정답 ② x = 2

9ˣ = (3ˣ)²이므로 t = 3ˣ로 놓으면 t² - 4t - 45 = 0, (t-9)(t+5) = 0. t = 3ˣ > 0이므로 t = 9 = 3², 즉 x = 2.

Q3 두 함수 f(x) = 2ˣ, g(x) = 2⁻ˣ의 그래프의 교점의 y좌표를 a라 할 때, f(2) + g(2) + a의 값은?

① 17/4
② 9/2
③ 11/2
④ 21/4

정답 ④ 21/4

f(x)=g(x)에서 2ˣ=2⁻ˣ이면 x=-x, 즉 x=0이므로 교점의 y좌표 a=2⁰=1. f(2)=4, g(2)=2⁻²=1/4. 따라서 f(2)+g(2)+a = 4 + 1/4 + 1 = 21/4.

Q4 함수 y = 2^x에서 x = 3일 때 y의 값은?

① 6
② 9
③ 8
④ 16

정답 ③ 8

y = 2³ = 8입니다. 지수함수에 x값을 대입하여 계산합니다.

Q5 지수함수 y = 2^x의 그래프가 항상 지나는 점은?

① (0, 1)
② (0, 0)
③ (1, 1)
④ (1, 0)

정답 ① (0, 1)

2⁰ = 1이므로 y = 2^x는 항상 점 (0, 1)을 지납니다. 모든 a^x 꼴 함수의 공통 성질입니다.

개념 미니맵 — 어디에 놓인 개념인가요

자주 묻는 질문

Q1지수함수와 지수법칙은 어떻게 다른가요?

지수법칙은 지수 연산 규칙(aᵐ×aⁿ = aᵐ⁺ⁿ 등)이고, 지수함수는 지수 자리에 변수가 있는 함수입니다. 지수법칙이 지수함수 계산의 도구 역할을 합니다.

Q2자연상수 e를 밑으로 쓰는 이유는 무엇인가요?

y = eˣ는 미분해도 eˣ로 자기 자신이 되는 특별한 성질이 있어 미적분에서 계산이 가장 편리합니다.

Q3그래프를 평행이동할 때 점근선도 이동하나요?

y = aˣ⁺ᵏ + m에서 y축 방향 이동 m만큼 점근선도 y = m으로 이동합니다. x축 방향 이동은 점근선에 영향을 주지 않습니다.

집필 우주정복치즈케이크 수학팀 최종 검토 2026-05-24

출처 교육부 고시 제2022-33호 · NCIC 국가교육과정정보센터

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지수함수의 역함수인 '로그함수(log_fn)'를 이어서 학습하면 두 개념이 서로 어떻게 연결되는지 확인할 수 있습니다.

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