등비수열

쉽게 말하면

등비수열은 각 항이 이전 항에 공비 r을 곱해 만들어집니다. 공비 r은 0이 아니라고 약속합니다(r=0이면 두 번째 항부터 0이 되어 등비 의미가 사라집니다). 일반항 aₙ = a₁rⁿ⁻¹이며, 합 공식은 r≠1일 때 Sₙ = a₁(rⁿ - 1)/(r - 1), r = 1일 때 Sₙ = na₁입니다. 무한등비급수는 |r| < 1일 때 S∞ = a₁/(1-r)로 수렴합니다. 반도체 소자 집적도의 무어의 법칙, 방사성 원소 반감기, 인구 증가 모델 등이 대표적인 실생활 예입니다.

숫자로 보는 예시

1. 예시 1
   $$a_1=2,r=3\Rightarrow a_5=2\times 3^4=162$$
   공비가 3인 등비수열의 5번째 항입니다.
2. 예시 2
   $$S_5=\frac{2(3^5-1)}{3-1}=\frac{2\times 242}{2}=242$$
   첫 5항의 합을 공식으로 구합니다.
3. 예시 3
   $$S_{\infty }=\frac{3}{1-\frac{1}{2}}=6(a_1=3,r=\frac{1}{2})$$
   |r| < 1이므로 무한등비급수가 수렴합니다.

풀이 절차

등비수열 일반항·합 구하기

1. 1 a₁(첫째 항)과 r(공비)을 파악합니다. 두 항이 주어지면 r = ⁿ√(aₙ/a₁)으로 계산합니다.
2. 2 일반항 aₙ = a₁rⁿ⁻¹에 값을 대입합니다.
3. 3 합이 필요하면 r ≠ 1 조건을 확인한 뒤 Sₙ = a₁(rⁿ-1)/(r-1)을 사용합니다.
4. 4 무한급수가 요구되면 |r| < 1인지 검토하고 S∞ = a₁/(1-r)를 적용합니다.

자주 하는 실수

자가진단 — 풀어보면서 확인하기

아래 문제를 머릿속으로 풀어본 뒤 펼쳐서 정답과 풀이를 확인해 보세요.

개념 미니맵 — 어디에 놓인 개념인가요

자주 묻는 질문