고등학교 고2-1 문자와식

등차수열

일정한 수(공차 d)를 계속 더해 만든 수열로, 일반항은 aₙ = a₁ + (n-1)d입니다.

매달 월급이 3만 원씩 오르는 연봉 인상 — 시작 금액과 인상 폭만 알면 n번째 달 급여를 바로 구할 수 있습니다.

쉽게 말하면

등차수열은 이웃하는 두 항의 차(공차 d)가 항상 일정한 수열입니다. 첫째 항이 a₁이면 n번째 항은 aₙ = a₁ + (n-1)d로 표현되며, 이를 이용하면 1부터 n항까지의 합 Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ) = n/2 × (2a₁ + (n-1)d)로 구할 수 있습니다. 물리에서 등가속도 운동의 위치 수열, 경제에서 정기적 이자 계산 등 실생활에 자주 등장합니다.

숫자로 보는 예시

예시 1

$a_{1} = 3, d = 4 \Rightarrow a_{10} = 3 + 9 \times 4 = 39$

공차 4인 등차수열의 10번째 항을 구합니다.
예시 2

$S_{20} = \frac{20}{2} (2 \times 3 + 19 \times 4) = 10 \times 82 = 820$

같은 수열의 첫 20항의 합입니다.
예시 3

$a_{5} = 17, a_{9} = 33 \Rightarrow d = \frac{33 - 17}{4} = 4, a_{1} = 17 - 4 \times 4 = 1$

두 항이 주어질 때 역으로 첫째 항과 공차를 구합니다.

풀이 절차

등차수열 일반항·합 구하기

1 첫째 항 a₁과 공차 d를 파악합니다. (두 항이 주어지면 d = (aₘ - aₙ)/(m-n)으로 계산)
2 일반항 공식 aₙ = a₁ + (n-1)d에 값을 대입합니다.
3 합이 필요하면 Sₙ = n/2 × (2a₁ + (n-1)d)를 사용합니다.
4 구한 aₙ 또는 Sₙ를 문제 조건(부등식·방정식 등)에 맞게 적용합니다.

자주 하는 실수

(n-1) 대신 n을 쓰는 실수

❌ 안 좋은 예 aₙ = a₁ + nd

✓ 좋은 예 aₙ = a₁ + (n-1)d

왜요? 첫째 항(n=1)에서는 공차를 0번 더한 상태이므로 n-1회 더해야 합니다.

합 공식에서 항수를 잘못 세기

❌ 안 좋은 예 1항부터 10항까지의 합에서 n = 9로 계산

✓ 좋은 예 n = 10으로 계산

왜요? 1항∼10항은 총 10개의 항입니다. 항수를 셀 때 끝-시작+1 공식을 사용하세요.

자가진단 — 풀어보면서 확인하기

아래 문제를 머릿속으로 풀어본 뒤 펼쳐서 정답과 풀이를 확인해 보세요.

Q1 등차수열 {aₙ}에서 a₅ = 13, a₁₀ = 28일 때, 공차 d의 값은?

① 3
② 4
③ 2
④ 5

정답 ① 3

a₁₀ - a₅ = 5d = 28 - 13 = 15이므로 d = 3.

Q2 등차수열 {aₙ}의 첫째항이 2이고 공차가 3일 때, 처음으로 100을 넘는 항은 제 n항이다. n의 값은?

① 33
② 34
③ 32
④ 35

정답 ② 34

aₙ = 2 + (n-1)·3 = 3n - 1 > 100에서 3n > 101, n > 33.67. 따라서 처음으로 100을 넘는 항은 n = 34.

Q3 등차수열 {aₙ}에서 제1항부터 제n항까지의 합 Sₙ = 2n² - n이다. a₁₀의 값은?

① 39
② 41
③ 35
④ 37

정답 ④ 37

n ≥ 2일 때 aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ = (2n²-n) - (2(n-1)²-(n-1)) = 2n²-n - 2n²+4n-2+n-1 = 4n-3. a₁ = S₁ = 2-1 = 1이고, 공식 4(1)-3 = 1과 일치. a₁₀ = 4(10)-3 = 37.

Q4 첫째항이 3이고 공차가 2인 등차수열의 제5항은?

①9
②13
③11
④15

정답 ③11

a₅ = 3 + (5-1)×2 = 3 + 8 = 11입니다. aₙ = a₁ + (n-1)d 공식을 이용합니다.

Q5 등차수열 2, 5, 8, 11, …의 공차는?

①4
②5
③2
④3

정답 ④3

연속한 두 항의 차이가 3으로 일정하므로 공차는 3입니다.

개념 미니맵 — 어디에 놓인 개념인가요

자주 묻는 질문

Q1공차가 음수이면 등차수열이 아닌가요?

아닙니다. 공차는 음수, 0, 소수도 가능합니다. 차이가 '일정'하면 등차수열입니다.

Q2등차수열과 등비수열의 가장 큰 차이는 무엇인가요?

등차는 '더하기'로 나아가고, 등비는 '곱하기'로 나아갑니다. 같은 비율로 성장하는 세균 수가 등비라면, 매초 1마리씩 추가되는 경우가 등차입니다.

Q3Sₙ을 미분하면 일반항 aₙ이 나오나요?

수열에서는 이산(discrete) 개념이라 미분이 아니라 aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ (n≥2)을 사용합니다.

집필 우주정복치즈케이크 수학팀 최종 검토 2026-05-24

출처 교육부 고시 제2022-33호 · NCIC 국가교육과정정보센터

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