고등학교 고2-1 수와연산

지수와 로그

지수법칙은 같은 밑의 거듭제곱 연산 규칙이고, 로그는 '몇 제곱하면 이 수가 되는가'를 나타냅니다.

pH(수소이온 농도)나 리히터 규모가 로그 스케일 — 숫자 1 차이가 실제 10배 차이를 의미합니다.

쉽게 말하면

지수법칙: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, (ab)ⁿ = aⁿbⁿ 등이 핵심입니다. 로그는 logₐb = c ⟺ aᶜ = b로 정의합니다 (a>0, a≠1, b>0). 로그 법칙: logₐ(MN) = logₐM + logₐN, logₐ(M/N) = logₐM - logₐN, logₐMⁿ = n·logₐM. 상용로그(밑=10)는 log로 쓰며, 진수의 자리 수 파악, 소리 데시벨, 지진 규모 계산 등에 사용됩니다.

숫자로 보는 예시

예시 1

$lo g_{2} 32 = lo g_{2} 2^{5} = 5$

32 = 2⁵임을 이용해 로그 값을 구합니다.
예시 2

$lo g_{3} 6 + lo g_{3} \frac{3}{2} = lo g_{3} (6 \times \frac{3}{2}) = lo g_{3} 9 = 2$

로그의 합은 진수의 곱으로 합칩니다.
예시 3

$lo g_{10} 5 = lo g_{10} \frac{10}{2} = 1 - lo g_{10} 2 \approx 1 - 0.3010 = 0.6990$

log 2 ≈ 0.3010을 활용한 상용로그 변환입니다.

풀이 절차

로그 값 계산하기

1 진수와 밑을 확인하고, 진수가 양수인지 점검합니다.
2 진수를 밑의 거듭제곱 꼴로 변환하거나, 로그 법칙(합·차·멱)을 적용합니다.
3 밑 변환이 필요하면 logₐb = log b / log a를 사용합니다.
4 상용로그 문제는 주어진 log 2, log 3 등의 근삿값을 대입해 최종 답을 구합니다.

자주 하는 실수

로그 합을 진수 합으로 착각

❌ 안 좋은 예 log 2 + log 3 = log 5

✓ 좋은 예 log 2 + log 3 = log 6

왜요? logₐM + logₐN = logₐ(MN)이므로 진수끼리 곱해야 합니다.

진수 조건 무시

❌ 안 좋은 예 log(x-3) = 2에서 x = 103을 바로 답으로

✓ 좋은 예 x-3 > 0, 즉 x > 3 확인 후 x = 103이 조건을 만족함을 검토

왜요? 로그의 진수는 반드시 양수여야 합니다. 조건을 빠뜨리면 감점 요인이 됩니다.

자가진단 — 풀어보면서 확인하기

아래 문제를 머릿속으로 풀어본 뒤 펼쳐서 정답과 풀이를 확인해 보세요.

Q1 log₅125 + log₄(1/16)의 값은?

① -1
② 3
③ 1
④ 0

정답 ③ 1

log₅125 = log₅5³ = 3, log₄(1/16) = log₄4⁻² = -2. 따라서 3 + (-2) = 1.

Q2 log₂3 = a로 놓을 때, log₈27을 a로 나타내면?

① 3a
② a/3
③ a³
④ a

정답 ④ a

log₈27 = log₂27/log₂8 = log₂3³/log₂2³ = (3log₂3)/3 = log₂3 = a.

Q3 방정식 log₂(x-2) + log₂(x+2) = 3을 만족하는 실수 x의 값은?

① 3
② 2√2
③ 2√3
④ 4

정답 ③ 2√3

log₂(x-2)(x+2) = 3이므로 (x-2)(x+2) = 8, x²-4 = 8, x² = 12, x = 2√3 (진수 조건: x > 2이므로 x = 2√3 ≈ 3.46 > 2 ✓, x = -2√3 탈락).

Q4 2^(log₂5)의 값은?

① 10
② 2
③ 5
④ 25

정답 ③ 5

a^(log_a x) = x 이므로 2^(log₂5) = 5입니다. 지수와 로그는 서로 역연산 관계입니다.

Q5 log₃9 + log₂8의 값은?

① 7
② 6
③ 8
④ 5

정답 ④ 5

log₃9 = 2, log₂8 = 3이므로 합은 2 + 3 = 5입니다.

개념 미니맵 — 어디에 놓인 개념인가요

자주 묻는 질문

Q1log와 ln의 차이는 무엇인가요?

log는 보통 밑이 10인 상용로그, ln은 밑이 자연상수 e인 자연로그입니다. 고2 교육과정에서는 주로 상용로그를 다룹니다.

Q2밑 변환 공식은 언제 쓰나요?

밑이 서로 다른 로그를 더하거나 빼거나, 밑을 맞춰 비교해야 할 때 logₐb = log b / log a 공식을 사용합니다.

Q3상용로그로 자릿수를 어떻게 구하나요?

log N = n.xxx이면 N은 (n+1)자리 수입니다. 예를 들어 log 500 ≈ 2.699이면 500은 3자리 수입니다.

집필 우주정복치즈케이크 수학팀 최종 검토 2026-05-24

출처 교육부 고시 제2022-33호 · NCIC 국가교육과정정보센터

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