무리수와 실수

쉽게 말하면

실수의 계층 구조는 다음과 같습니다:
$$\text{실수}=\text{유리수}\cup \text{무리수}$$
유리수는 소수점이 유한이거나 순환하는 반면, 무리수($\sqrt{2},\sqrt{3},\pi$ 등)는 소수점 이하가 끝없이 이어지며 규칙이 없습니다.

수직선 위에 유리수만 점을 찍으면 엄청나게 많지만 '빈틈'이 존재합니다. 무리수까지 추가하면 수직선 위의 모든 점에 빈틈 없이 수가 대응됩니다.

실수는 크기 비교와 사칙연산이 모두 가능하고, 수직선 위의 모든 점에 대응합니다.

수의 분류 구조: 자연수 $\subset$ 정수 $\subset$ 유리수 $\subset$ 실수, 무리수 $\subset$ 실수. 유리수와 무리수는 서로 겹치지 않으며(교집합 = 공집합), 합치면 실수 전체를 이룹니다. 즉, 어떤 수가 유리수이면 무리수가 아니고, 무리수이면 유리수가 아닙니다.

숫자로 보는 예시

1. 예시 1
   $$\sqrt{2}=1.41421356\dots (\text{무리수})$$
   소수점 이하가 순환하지 않고 무한히 계속되므로 무리수입니다.
2. 예시 2
   $$\frac{1}{3}=0.\overline{3}(\text{유리수})$$
   0.333…은 순환소수이므로 유리수입니다.
3. 예시 3
   $$\sqrt{4}=2(\text{유리수})$$
   근호 안이 완전제곱수이면 결과가 정수이므로 유리수입니다.

풀이 절차

무리수 여부 판별 순서

1. 1 $\sqrt{n}$에서 $n$이 완전제곱수인지 확인합니다.
2. 2 완전제곱수이면 정수가 되므로 유리수, 아니면 무리수입니다.
3. 3 분수 $\frac{p}{q}$ 형태로 나타낼 수 있는지 점검합니다.
4. 4 나타낼 수 없으면 무리수 → 실수 범주에 포함됩니다.

자주 하는 실수

자가진단 — 풀어보면서 확인하기

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자주 묻는 질문