근의 공식

쉽게 말하면

인수분해가 어렵거나 불가능한 이차방정식도 근의 공식을 이용하면 반드시 근(실수인 경우)을 구할 수 있습니다.

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

이 공식은 $a{x}^2+bx+c=0$의 양변을 $a$로 나눈 뒤 완전제곱식을 만들어 유도합니다.

$b$가 짝수($b=2b^{\prime }$)일 때는 짝수 공식이 더 간편합니다:
$$x=\frac{-b^{\prime }\pm \sqrt{b^{\prime 2}-ac}}{a}$$

근호 안의 값 $D=b^2-4ac$를 판별식이라 하며, 근의 개수를 결정합니다.

숫자로 보는 예시

1. 예시 1
   $$2x^2-3x-2=0\Rightarrow x=\frac{3\pm \sqrt{9+16}}{4}=\frac{3\pm 5}{4}\Rightarrow x=2,-\frac{1}{2}$$
   $a=2,b=-3,c=-2$를 대입합니다.
2. 예시 2
   $$x^2+2x-1=0\Rightarrow x=\frac{-2\pm \sqrt{4+4}}{2}=-1\pm \sqrt{2}$$
   인수분해가 안 될 때 근의 공식이 효과적입니다.
3. 예시 3
   $$x^2-4x+4=0\Rightarrow x=\frac{4\pm \sqrt{16-16}}{2}=2$$
   $D=0$이면 중근: 근이 하나입니다.

풀이 절차

근의 공식 적용 순서

1. 1 $a{x}^2+bx+c=0$ 꼴로 정리하고 $a,b,c$를 확인합니다.
2. 2 $D=b^2-4ac$를 계산합니다. $D<0$이면 실수 근 없음.
3. 3 $x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$에 $a,b,D$를 대입합니다.
4. 4 근호 안을 간단히 하고, 분수를 약분해 최종 답을 씁니다.

자주 하는 실수

자가진단 — 풀어보면서 확인하기

아래 문제를 머릿속으로 풀어본 뒤 펼쳐서 정답과 풀이를 확인해 보세요.

개념 미니맵 — 어디에 놓인 개념인가요

자주 묻는 질문