중학교 중3-1 문자와식

판별식

Q: 판별식이 음수이면 방정식에 해가 없나요?

실수 해가 없습니다. 고등에서 복소수를 배우면 허수 해 2개가 존재함을 알게 됩니다.

Q: 이차함수 그래프와 판별식은 어떤 관계인가요?

D > 0이면 그래프가 x축을 두 점에서 만나고, D = 0이면 접하며, D < 0이면 교점이 없습니다.

Q: 짝수 b일 때 판별식은 어떻게 다른가요?

b = 2b'이면 D/4 = b'^2 - ac로 계산하면 더 편리합니다.

D = b^{2} - 4 a c

는 이차방정식의 실수 근의 개수를 알려주는 값입니다.

교통 신호등처럼

D > 0

(초록 = 근 2개),

D = 0

(노랑 = 중근 1개),

D < 0

(빨강 = 실수 근 없음)을 판별합니다.

쉽게 말하면

이차방정식 $a x^{2} + b x + c = 0$ 에서 판별식은:
$D = b^{2} - 4 a c$

| $D$ 의 부호 | 근의 종류 | 근의 개수 |
|---|---|---|
| $D > 0$ | 서로 다른 두 실수 근 | 2 |
| $D = 0$ | 중근 (서로 같은 두 근) | 1 |
| $D < 0$ | 실수 근 없음 | 0 |

판별식은 실제로 근을 구하지 않아도 근의 존재와 개수를 미리 파악할 때 매우 유용합니다. 또한 이차함수 $y = a x^{2} + b x + c$ 의 그래프가 $x$ 축과 만나는 점의 개수와도 일치합니다.

숫자로 보는 예시

예시 1

$x^{2} - 5 x + 6 = 0 : D = 25 - 24 = 1 > 0 \Rightarrow 근 2 개$

$D > 0$ 이므로 서로 다른 두 실수 근을 가집니다.
예시 2

$x^{2} - 4 x + 4 = 0 : D = 16 - 16 = 0 \Rightarrow 중근 x = 2$

$D = 0$ 이면 중근이며 그래프는 $x$ 축에 접합니다.
예시 3

$x^{2} + x + 1 = 0 : D = 1 - 4 = - 3 < 0 \Rightarrow 실수 근 없음$

$D < 0$ 이면 그래프가 $x$ 축과 만나지 않습니다.

풀이 절차

판별식으로 근의 종류 결정

1 $a x^{2} + b x + c = 0$ 꼴로 정리하고 $a, b, c$ 를 읽습니다.
2 $D = b^{2} - 4 a c$ 를 계산합니다.
3 $D > 0$ 이면 서로 다른 두 실수 근, $D = 0$ 이면 중근, $D < 0$ 이면 실수 근 없음.
4 필요하면 실제 근을 근의 공식으로 구합니다.

자주 하는 실수

D

와

D

혼동

❌ 안 좋은 예

D = b^{2} - 4 a c

✓ 좋은 예

D = b^{2} - 4 a c (를 씌우지 않음)

왜요? 판별식은

b^{2} - 4 a c

자체이고, 근의 공식 안에서

D

가 쓰입니다.

b의 부호 처리

❌ 안 좋은 예

x^{2} - 3 x + 2 = 0

에서 b를 3으로 보고 근의 공식에 대입

✓ 좋은 예 b = -3이 정확합니다.

b^{2}

은 같지만 근의 공식 분자

- b

에서 부호가 결정적입니다. (

x = \frac{- ( - 3 ) \pm 1}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}

)

왜요? 판별식은 부호가 사라져 보이지만, 근을 실제 계산할 때

- b

에서 부호가 결과를 바꿉니다.

자가진단 — 풀어보면서 확인하기

아래 문제를 머릿속으로 풀어본 뒤 펼쳐서 정답과 풀이를 확인해 보세요.

Q1 이차방정식 x² - 4x + 5 = 0의 판별식 D의 값은?

① 36
② -4
③ 4
④ -36

정답 ② -4

판별식 D = b² - 4ac = (-4)² - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4입니다. D < 0이면 실수 범위에서 근이 존재하지 않습니다.

Q2 이차방정식 x² + kx + 9 = 0이 중근을 가질 때, k의 값은?

① k = ±3
② k = ±6
③ k = 9
④ k = ±9

정답 ② k = ±6

중근 조건은 D = 0이므로 k² - 4(1)(9) = 0, k² = 36, k = ±6입니다. 이차방정식이 중근을 가지려면 판별식이 정확히 0이어야 합니다.

Q3 다음 중 판별식 D와 이차방정식의 근에 관한 설명으로 옳지 않은 것은?

① D < 0이면 반드시 근이 두 개다.
② D = 0이면 중근을 갖는다.
③ D < 0이면 실근이 없다.
④ D > 0이면 서로 다른 두 실근을 갖는다.

정답 ① D < 0이면 반드시 근이 두 개다.

①가 옳지 않습니다. D < 0이면 실수 범위에서 근이 존재하지 않습니다. 즉 '근이 없다'고 표현합니다. D = 0이면 중근(같은 두 근), D > 0이면 서로 다른 두 실수 근을 가집니다.

Q4 이차방정식 x² + 2x + 1 = 0 의 판별식 D의 값과 근의 개수는?

①D=-4, 근 없음
②D=0, 중근(1개)
③D=4, 두 근
④D=1, 한 근

정답 ②D=0, 중근(1개)

D=b²-4ac=4-4=0이므로 중근을 가집니다. 판별식이 0이면 서로 같은 두 근(중근)을 가집니다.

Q5 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가질 조건은?

①D≥0
②D>0
③D=0
④D<0

정답 ②D>0

판별식 D=b²-4ac>0일 때 서로 다른 두 실근을 가집니다. D=0이면 중근, D<0이면 실근이 없습니다.

개념 미니맵 — 어디에 놓인 개념인가요

자주 묻는 질문

Q1판별식이 음수이면 방정식에 해가 없나요?

실수 해가 없습니다. 고등에서 복소수를 배우면 허수 해 2개가 존재함을 알게 됩니다.

Q2이차함수 그래프와 판별식은 어떤 관계인가요?

D > 0

이면 그래프가

x

축을 두 점에서 만나고,

D = 0

이면 접하며,

D < 0

이면 교점이 없습니다.

Q3짝수

b

일 때 판별식은 어떻게 다른가요?

b = 2 b^{'}

이면

D /4 = b^{'2} - a c

로 계산하면 더 편리합니다.

집필 우주정복치즈케이크 수학팀 최종 검토 2026-05-24

출처 교육부 고시 제2022-33호 · NCIC 국가교육과정정보센터

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