이차방정식(인수)

쉽게 말하면

인수분해 이용: $a{x}^2+bx+c=a(x-p)(x-q)=0$이면 $x=p$ 또는 $x=q$.

$AB=0$이면 $A=0$ 또는 $B=0$이라는 영인수 법칙이 핵심입니다.

제곱근 이용 (이동법): $(x-m{)}^2=k$ 꼴로 변형하면 $x-m=\pm \sqrt{k}$이므로 $x=m\pm \sqrt{k}$.

완전제곱식 만들기: $x^2+bx$ 형태에서 ${\left(\frac{b}{2}\right)}^2$을 더하고 빼면 $(x+\frac{b}{2}{)}^2$로 변환됩니다.

숫자로 보는 예시

1. 예시 1
   $$x^2-5x+6=0\Rightarrow (x-2)(x-3)=0\Rightarrow x=2,3$$
   두 수의 합이 5, 곱이 6인 수 2와 3을 찾아 인수분해합니다.
2. 예시 2
   $$(x-1{)}^2=5\Rightarrow x-1=\pm \sqrt{5}\Rightarrow x=1\pm \sqrt{5}$$
   완전제곱 꼴이면 바로 제곱근을 취합니다.
3. 예시 3
   $$x^2+4x-5=0\Rightarrow (x+5)(x-1)=0\Rightarrow x=-5,1$$
   합이 4, 곱이 -5인 수 +5와 -1을 이용합니다.
4. 예시 4
   $$x^2=3x+4\Rightarrow x^2-3x-4=0\Rightarrow (x-4)(x+1)=0\Rightarrow x=4(\because x>0)$$
   활용 문제: '어떤 양수의 제곱이 그 수의 3배보다 4만큼 크다.' → 식 세우기 $x^2=3x+4$ → 이항 후 인수분해 → 양수 조건으로 $x=4$ 선택.
5. 예시 5
   $$n(n+1)=30\Rightarrow n^2+n-30=0\Rightarrow (n+6)(n-5)=0\Rightarrow n=5$$
   활용 문제: '연속한 두 자연수의 곱이 30이다. 이 두 수는?' → 작은 수를 n으로 놓으면 $n(n+1)=30$. 자연수 조건에서 $n=5$, 두 수는 5와 6입니다.
6. 예시 6
   $$x(x+2)=24\Rightarrow x^2+2x-24=0\Rightarrow (x+6)(x-4)=0\Rightarrow x=4(\because x>0)$$
   활용 문제: '가로가 세로보다 2cm 긴 직사각형의 넓이가 24cm²일 때 가로 길이는?' → 세로를 x로 놓으면 $x(x+2)=24$. 양수 조건에서 $x=4$이므로 가로는 6cm입니다.

풀이 절차

인수분해·제곱근으로 이차방정식 풀기

1. 1 모든 항을 한쪽으로 이항하여 $a{x}^2+bx+c=0$ 꼴로 정리합니다.
2. 2 공통인수를 먼저 묶고, $x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$ 형태를 시도합니다.
3. 3 인수분해가 되면 영인수 법칙으로 각 인수를 0으로 놓고 $x$를 구합니다.
4. 4 인수분해가 안 되면 완전제곱식으로 변형한 뒤 제곱근을 취합니다.

자주 하는 실수

자가진단 — 풀어보면서 확인하기

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자주 묻는 질문