중학교 중3-2 함수

이차함수

Q: 이차함수와 이차방정식은 어떤 관계인가요?

y=0으로 놓은 이차방정식의 근이 이차함수 그래프의 x절편입니다.

Q: 포물선의 축은 무엇인가요?

포물선을 좌우 대칭으로 나누는 직선으로, 꼭짓점을 지나는 x=p입니다.

Q: a의 크기가 그래프 모양에 영향을 주나요?

네, |a|가 클수록 포물선이 좁고 가파르며, 작을수록 넓고 완만해집니다.

y = a x^{2} + b x + c

(

a \neq = 0

)로 나타나는 함수를 이차함수라 하며, 그래프는 포물선(parabola)입니다.

농구공을 던지면 포물선을 그리며 날아갑니다 — 이차함수가 바로 그 궤적의 수학적 모델입니다.

쉽게 말하면

이차함수의 표준형은 꼭짓점 형태로 변환하면 가장 분석하기 쉽습니다:
$y = a (x - p)^{2} + q$
꼭짓점은 $(p, q)$ 이고, 축의 방정식은 $x = p$ 입니다.

$a > 0$ 이면 아래로 볼록(U자), $a < 0$ 이면 위로 볼록(∩자)이고, $∣ a ∣$ 가 클수록 그래프가 좁아집니다.

일반형 $y = a x^{2} + b x + c$ 에서 꼭짓점의 $x$ 좌표는 $x = - \frac{b}{2 a}$ 입니다.

숫자로 보는 예시

예시 1

$y = 2 (x - 1)^{2} + 3$

꼭짓점 $(1, 3)$ , 축 $x = 1$ , 아래로 볼록 ( $a = 2 > 0$ ).
예시 2

$y = - x^{2} + 4 x - 3 = - (x - 2)^{2} + 1$

완전제곱식 변환: 꼭짓점 $(2, 1)$ , 위로 볼록 ( $a < 0$ ).
예시 3

$y = x^{2} - 6 x + 8 : x = - \frac{- 6}{2} = 3, y = 9 - 18 + 8 = - 1$

꼭짓점 $(3, - 1)$ 을 공식으로 빠르게 구합니다.

풀이 절차

이차함수 분석 순서

1 $a$ 의 부호로 볼록 방향을 파악합니다.
2 완전제곱식 변환 $y = a (x - p)^{2} + q$ 으로 꼭짓점 $(p, q)$ 를 구합니다.
3 축의 방정식 $x = p$ 와 $y$ 절편 ( $x = 0$ 대입) 을 구합니다.
4 $y = 0$ 으로 놓아 $x$ 절편(이차방정식의 근)을 구합니다.

자주 하는 실수

꼭짓점의

x

좌표 부호 실수

❌ 안 좋은 예

y = (x + 3)^{2} - 1 \Rightarrow 꼭짓점 (- 3, - 1) 이 맞는데 (3, - 1) 로 씀

✓ 좋은 예

y = a (x - p)^{2} + q 에서꼭짓점은 (p, q) = (- 3, - 1)

왜요?

(x + 3)

은

(x - (- 3))

이므로

p = - 3

입니다.

a

묶을 때 상수항 처리 실수

❌ 안 좋은 예

y = 2 x^{2} - 8 x + 5 = 2 (x^{2} - 4 x + 4) + 5 = 2 (x - 2)^{2} + 5

✓ 좋은 예

y = 2 (x^{2} - 4 x) + 5 = 2 (x^{2} - 4 x + 4) - 8 + 5 = 2 (x - 2)^{2} - 3

왜요? 4를 안에 더했으면

2 \times 4 = 8

을 밖에서 빼야 합니다.

자가진단 — 풀어보면서 확인하기

아래 문제를 머릿속으로 풀어본 뒤 펼쳐서 정답과 풀이를 확인해 보세요.

Q1 이차함수 y = 2(x-1)² + 3의 꼭짓점 좌표는?

① (1, -3)
② (1, 3)
③ (-1, 3)
④ (2, 3)

정답 ② (1, 3)

y = a(x-p)² + q의 꼭짓점은 (p, q)입니다. y = 2(x-1)² + 3에서 p=1, q=3이므로 꼭짓점은 (1, 3)입니다.

Q2 이차함수 y = x² - 6x + 5를 꼭짓점형으로 변환하면?

① y = (x-6)² + 5
② y = (x+3)² - 4
③ y = (x-3)² - 4
④ y = (x-3)² + 4

정답 ③ y = (x-3)² - 4

완전제곱식으로 변환합니다. y = x² - 6x + 5 = (x² - 6x + 9) - 9 + 5 = (x-3)² - 4입니다. 꼭짓점은 (3, -4)이고, 아래로 볼록한 포물선입니다.

Q3 이차함수 y = -x² + 4x - 3에서 이 함수의 그래프가 위로 볼록한 이유로 옳은 것은?

① y절편이 음수이기 때문
② 꼭짓점의 y좌표가 양수이기 때문
③ x²의 계수가 음수이기 때문
④ x절편이 두 개이기 때문

정답 ③ x²의 계수가 음수이기 때문

이차함수 y = ax² + bx + c에서 그래프의 방향은 최고차항의 계수 a에 의해 결정됩니다. a > 0이면 아래로 볼록, a < 0이면 위로 볼록합니다. 여기서 a = -1 < 0이므로 위로 볼록합니다.

Q4 이차함수 y = x² + 2x - 3 을 꼭짓점형으로 나타내면?

①y=(x+1)²-4
②y=(x+2)²-3
③y=(x+1)²+4
④y=(x-1)²-4

정답 ①y=(x+1)²-4

x²+2x-3=(x+1)²-1-3=(x+1)²-4입니다. 완전제곱식으로 변형하여 꼭짓점 (-1,-4)를 구할 수 있습니다.

Q5 이차함수 y = -3(x+2)² - 1 의 꼭짓점 좌표는?

①(-2,1)
②(-2,-1)
③(2,1)
④(2,-1)

정답 ②(-2,-1)

y=a(x-p)²+q 꼴에서 꼭짓점은 (p,q)입니다. (x+2)=(x-(-2))이므로 꼭짓점은 (-2,-1)입니다.

개념 미니맵 — 어디에 놓인 개념인가요

자주 묻는 질문

Q1이차함수와 이차방정식은 어떤 관계인가요?

y = 0

으로 놓은 이차방정식의 근이 이차함수 그래프의

x

절편입니다.

Q2포물선의 축은 무엇인가요?

포물선을 좌우 대칭으로 나누는 직선으로, 꼭짓점을 지나는

x = p

입니다.

a

의 크기가 그래프 모양에 영향을 주나요?

네,

∣ a ∣

가 클수록 포물선이 좁고 가파르며, 작을수록 넓고 완만해집니다.

집필 우주정복치즈케이크 수학팀 최종 검토 2026-05-24

출처 교육부 고시 제2022-33호 · NCIC 국가교육과정정보센터

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