고등학교 고1-2 함수

함수 개념

Q: 역함수가 존재하지 않는 경우는 언제인가요?

함수가 일대일 대응(전단사)이 아닐 때입니다. 예를 들어 f(x) = x^2은 f(-1) = f(1) = 1이므로 정의역 전체에서 역함수가 존재하지 않습니다.

Q: 합성함수에서 교환법칙이 성립하나요?

일반적으로 성립하지 않습니다. g \circ f \neq f \circ g 인 경우가 대부분입니다.

함수의 정의역·공역·역함수·합성함수 개념을 배웁니다.

자판기에 동전을 넣으면 음료가 나오듯, 입력(정의역)에 규칙(함수)을 적용하면 출력(치역)이 하나 결정됩니다.

쉽게 말하면

함수 $f : X \to Y$ 는 정의역 $X$ 의 각 원소에 공역 $Y$ 의 원소를 정확히 하나씩 대응시키는 규칙입니다. 치역(range)은 실제로 대응되는 $Y$ 의 원소들의 집합으로 공역의 부분집합입니다. 일대일 함수(단사)는 서로 다른 입력이 서로 다른 출력을 가지며, 역함수 $f^{- 1}$ 는 일대일 대응일 때만 존재합니다. 역함수는 $y = f (x)$ 에서 $x$ 와 $y$ 를 교환한 뒤 $y$ 에 대해 풀어 구합니다. 합성함수 $(g \circ f) (x) = g (f (x))$ 는 $f$ 를 먼저 적용한 뒤 $g$ 를 적용합니다.

숫자로 보는 예시

예시 1

$f (x) = 2 x + 1 \Rightarrow y = 2 x + 1 \Rightarrow x = \frac{y - 1}{2} \Rightarrow f^{- 1} (x) = \frac{x - 1}{2}$

$x$ 와 $y$ 를 교환한 뒤 $y$ 에 대해 풀어 역함수를 구했습니다.
예시 2

$f (x) = x^{2}, g (x) = x + 1 \Rightarrow (g \circ f) (x) = f (x)^{2} ? 아니요, g (f (x)) = x^{2} + 1$

합성 순서: $f$ 먼저, $g$ 나중. $(g \circ f) (x) = g (x^{2}) = x^{2} + 1$ 입니다.
예시 3

$f : {1, 2, 3} \to {a, b, c}, f (1) = a, f (2) = b, f (3) = c \Rightarrow 일대일 대응, 역함수 존재$

정의역과 공역이 일대일로 대응되어 역함수가 존재합니다.

풀이 절차

역함수 구하기 절차

1 ① $y = f (x)$ 형태로 씁니다.
2 ② $x$ 와 $y$ 를 서로 바꿉니다: $x = f (y)$ .
3 ③ $y$ 에 대해 방정식을 풀어 $y = f^{- 1} (x)$ 를 구합니다.
4 ④ 정의역(원래 함수의 치역)을 명확히 표기합니다.

자주 하는 실수

합성함수 순서 혼동

❌ 안 좋은 예

(g \circ f) (x) = f (g (x))

✓ 좋은 예

(g \circ f) (x) = g (f (x))

왜요?

\circ

기호의 오른쪽 함수를 먼저 적용합니다.

역함수 정의역 누락

❌ 안 좋은 예

f (x) = x^{2}

의 역함수를

f^{- 1} (x) = x

라고만 표기

✓ 좋은 예

f^{- 1} (x) = x

(x \geq 0)

으로 정의역 명시

왜요? 역함수의 정의역은 원래 함수의 치역이어야 합니다.

자가진단 — 풀어보면서 확인하기

아래 문제를 머릿속으로 풀어본 뒤 펼쳐서 정답과 풀이를 확인해 보세요.

Q1 함수 f(x) = ax + b의 역함수가 f⁻¹(x) = 2x - 3일 때, f(1)의 값은?

① 2
② -1
③ 1
④ 0

정답 ① 2

f와 f⁻¹가 역함수 관계이므로 f(f⁻¹(x))=x. f(2x-3) = a(2x-3)+b = 2ax + (b-3a) = x이므로 2a=1, b-3a=0. 따라서 a=1/2, b=3/2이고 f(x) = x/2 + 3/2. f(1) = 1/2 + 3/2 = 2.

Q2 f(x) = x² - 1 (x ≥ 0), g(x) = x + 3일 때, (f ∘ g)(2)의 값은?

① 24
② 25
③ 27
④ 26

정답 ① 24

(f∘g)(2) = f(g(2)) = f(5) = 5² - 1 = 24입니다.

Q3 두 함수 f, g가 모든 실수에서 정의되고, (g∘f)(x) = 3x - 2, f(x) = x + 1일 때, g(5)의 값은?

① 13
② 16
③ 10
④ 7

정답 ① 13

g(f(x)) = 3x - 2이므로 g(x+1) = 3x - 2. x+1 = t로 놓으면 x = t-1, g(t) = 3(t-1) - 2 = 3t - 5. g(5) = 15 - 5 = 10. 따라서 ③.

Q4 함수 f(x)=2x+1에서 f(3)의 값은?

①8
②6
③5
④7

정답 ④7

x=3을 대입하면 f(3)=2·3+1=7입니다.

Q5 함수 y=f(x)에서 정의역의 각 원소에 대응하는 치역의 원소는 몇 개여야 하는가?

①둘 이상
②없어도 된다
③반드시 하나
④제한 없음

정답 ③반드시 하나

함수는 정의역의 각 원소에 치역의 원소가 오직 하나씩 대응되는 관계입니다. 하나의 x에 두 개의 y가 대응되면 함수가 아닙니다.

개념 미니맵 — 어디에 놓인 개념인가요

자주 묻는 질문

Q1치역과 공역의 차이가 무엇인가요?

공역은 함수가 값을 보낼 수 있는 전체 집합이고, 치역은 실제로 대응되는 원소들의 모임입니다. 치역 ⊆ 공역입니다.

Q2역함수가 존재하지 않는 경우는 언제인가요?

함수가 일대일 대응(전단사)이 아닐 때입니다. 예를 들어

f (x) = x^{2}

은

f (- 1) = f (1) = 1

이므로 정의역 전체에서 역함수가 존재하지 않습니다.

Q3합성함수에서 교환법칙이 성립하나요?

일반적으로 성립하지 않습니다.

g \circ f \neq = f \circ g

인 경우가 대부분입니다.

집필 우주정복치즈케이크 수학팀 최종 검토 2026-05-24

출처 교육부 고시 제2022-33호 · NCIC 국가교육과정정보센터

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