고등학교 고1-1 문자와식

방정식(고등)

이차 이상의 방정식과 연립이차방정식을 푸는 방법을 배웁니다.

로켓의 비행 궤도는 이차방정식으로 기술됩니다. 해를 구하면 로켓이 언제 땅에 닿는지 알 수 있어요.

쉽게 말하면

고등학교에서는 방정식의 범위가 이차 이상으로 확장됩니다. 이차방정식은 판별식 $D = b^{2} - 4 a c$ 의 부호로 근의 존재 여부를 판단하고, 근의 공식으로 정확한 해를 구합니다. 인수분해가 가능하면 더 빠르게 풀 수 있습니다. 연립이차방정식은 한 변수를 소거하거나 치환하여 이차방정식 하나로 줄인 뒤 풀어냅니다. 삼차·사차방정식은 인수분해(인수 정리 활용) 또는 치환을 이용해 이차방정식으로 변환합니다.

숫자로 보는 예시

예시 1

$x^{2} - 5 x + 6 = 0 \Rightarrow (x - 2) (x - 3) = 0 \Rightarrow x = 2 또는 x = 3$

인수분해로 이차방정식을 풀었습니다.
예시 2

$2 x^{2} + 3 x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{- 3 \pm 9 + 16}{4} = \frac{- 3 \pm 5}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{2} 또는 x = - 2$

근의 공식을 사용했습니다.
예시 3

${y = x + 1 x^{2} + y^{2} = 5 \Rightarrow x^{2} + (x + 1)^{2} = 5 \Rightarrow 2 x^{2} + 2 x - 4 = 0 \Rightarrow x = 1 또는 x = - 2$

대입 소거로 연립이차방정식을 풀었습니다.

풀이 절차

이차방정식 풀기 절차

1 ① 방정식을 $a x^{2} + b x + c = 0$ 형태로 정리합니다.
2 ② 인수분해가 되면 각 인수를 0으로 놓아 해를 구합니다.
3 ③ 인수분해가 어려우면 근의 공식 $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ 를 적용합니다.
4 ④ 판별식 $D = b^{2} - 4 a c$ 로 실근·허근 여부를 확인하고 답을 검토합니다.

자주 하는 실수

근의 공식 분모 오류

❌ 안 좋은 예

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{a}

✓ 좋은 예

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

왜요? 분모는

2 a

입니다.

a

만 쓰는 실수를 자주 합니다.

연립방정식 대입 후 전개 실수

❌ 안 좋은 예

(x + 1)^{2} = x^{2} + 1

✓ 좋은 예

(x + 1)^{2} = x^{2} + 2 x + 1

왜요? 완전제곱 전개 시 중간 항

2 x

를 빠뜨리면 틀린 해가 나옵니다.

자가진단 — 풀어보면서 확인하기

아래 문제를 머릿속으로 풀어본 뒤 펼쳐서 정답과 풀이를 확인해 보세요.

Q1 이차방정식 x² - kx + 2k - 3 = 0이 중근을 가질 때, 모든 k의 값의 합은?

① 6
② 10
③ 4
④ 8

정답 ④ 8

중근 조건: 판별식 D = k² - 4(2k-3) = 0. k² - 8k + 12 = 0, (k-2)(k-6) = 0이므로 k = 2 또는 k = 6. 두 값의 합은 2 + 6 = 8입니다. 단, k=2이면 중근 x=1, k=6이면 중근 x=3으로 모두 유효합니다. 따라서 합은 8, 정답은 ④.

Q2 이차방정식 x² + 3x + k = 0의 두 근이 α, β일 때, α² + β² = 5이다. 상수 k의 값은?

① 1
② -2
③ 2
④ -1

정답 ③ 2

근과 계수의 관계: α+β = -3, αβ = k. α²+β² = (α+β)² - 2αβ = 9 - 2k = 5에서 2k = 4, k = 2. 따라서 k = 2, 정답은 ③.

Q3 삼차방정식 x³ - 6x² + 11x - 6 = 0의 세 실근의 합과 곱을 각각 s, p라 할 때, s - p의 값은?

① 0
② 3
③ 2
④ 1

정답 ① 0

인수분해: (x-1)(x-2)(x-3) = 0이므로 세 근은 1, 2, 3. 근과 계수의 관계로 s = 6, p = 6이므로 s - p = 0.

Q4 이차방정식 x²-7x+12=0의 두 근의 곱은?

①-12
②7
③5
④12

정답 ④12

근과 계수의 관계에서 두 근의 곱은 상수항÷이차항계수=12/1=12입니다. 실제 근은 3, 4이고 곱은 12입니다.

Q5 이차방정식 x²-6x+9=0의 근은?

①x=3 (중근)
②x=±9
③근이 없다
④x=3 또는 x=-3

정답 ①x=3 (중근)

x²-6x+9=(x-3)²=0이므로 x=3인 중근을 갖습니다. 판별식 D=36-36=0이므로 중근입니다.

개념 미니맵 — 어디에 놓인 개념인가요

자주 묻는 질문

Q1판별식이 음수이면 해가 없나요?

실수 범위에서는 해가 없습니다. 복소수까지 확장하면 허근 두 개가 존재합니다.

Q2삼차방정식은 어떻게 푸나요?

인수 정리로 한 근을 찾아 인수분해한 뒤 이차방정식을 풀면 됩니다.

Q3연립이차방정식에서 해가 여러 개 나오면 모두 답인가요?

원래 연립방정식에 대입해 모두 성립하는지 반드시 확인해야 합니다.

집필 우주정복치즈케이크 수학팀 최종 검토 2026-05-24

출처 교육부 고시 제2022-33호 · NCIC 국가교육과정정보센터

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이차부등식(hs_ineq)을 학습하면 방정식의 해를 범위로 확장할 수 있습니다.

방정식(고등) 문제 풀어보기

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