고등학교 고1-2 기하

원의 방정식

Q: 원 위의 점에서 접선의 방정식은 어떻게 구하나요?

원 x^2 + y^2 = r^2 위의 점 (x_1, y_1)에서의 접선은 x_1 x + y_1 y = r^2 입니다.

Q: 두 원의 교점을 지나는 직선(공통현)은 어떻게 구하나요?

두 원의 방정식을 빼면 직선 방정식이 나옵니다.

Q: 원 밖의 점에서 접선을 그을 수 있나요?

네, 원 밖의 점에서 원에 그을 수 있는 접선은 두 개입니다. 접선의 기울기를 미지수로 놓고 판별식 D = 0 을 이용해 구합니다.

원의 방정식과 직선·원의 교점을 구하는 방법을 배웁니다.

레이더 화면에서 목표물 탐지 범위가 원이에요. 비행 경로(직선)가 탐지 범위와 교차하는 지점이 바로 직선과 원의 교점입니다.

쉽게 말하면

중심이 $(a, b)$ 이고 반지름이 $r$ 인 원의 방정식은 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ 입니다. 전개하면 $x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ 꼴이 되는데, 이 식에서 중심과 반지름을 역으로 구하려면 완전제곱 변환을 합니다. 직선과 원의 위치 관계는 판별식 또는 '중심에서 직선까지의 거리 $d$ 와 반지름 $r$ 의 비교'로 판단합니다( $d < r$ : 두 교점, $d = r$ : 접선, $d > r$ : 교점 없음). 두 원의 교점을 지나는 직선(공통현)은 두 원의 방정식을 빼서 구합니다.

숫자로 보는 예시

예시 1

$(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9 \Rightarrow 중심 (2, - 1), r = 3$

표준형에서 중심과 반지름을 바로 읽습니다.
예시 2

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 4 = 0 \Rightarrow (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$

완전제곱 변환으로 일반형을 표준형으로 바꿨습니다.
예시 3

$원 x^{2} + y^{2} = 5, 직선 y = x + 1 \Rightarrow 대입 : x^{2} + (x + 1)^{2} = 5 \Rightarrow x = 1, - 2 \Rightarrow 교점 (1, 2), (- 2, - 1)$

직선의 식을 원에 대입해 교점을 구했습니다.

풀이 절차

직선과 원의 교점 구하기

1 ① 원의 방정식을 표준형 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ 으로 변환합니다.
2 ② 직선의 방정식을 $y = m x + n$ (또는 $x =$ 상수) 꼴로 정리합니다.
3 ③ 직선 식을 원의 방정식에 대입해 이차방정식을 만듭니다.
4 ④ 판별식으로 교점 개수를 확인하고, 해를 구해 좌표를 적습니다.

자주 하는 실수

일반형에서 반지름 계산 오류

❌ 안 좋은 예

x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 4 = 0

에서

r = 4

✓ 좋은 예 완전제곱 변환 후

(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9

이므로

r = 3

왜요? 일반형 상수항이 반지름이 아닙니다. 반드시 변환 후 읽어야 합니다.

접선 조건 혼동

❌ 안 좋은 예 판별식

D > 0

이면 접선이라고 생각

✓ 좋은 예 접선은

D = 0

(또는

d = r

)

왜요?

D > 0

은 두 교점,

D = 0

이 접선,

D < 0

이 교점 없음입니다.

자가진단 — 풀어보면서 확인하기

아래 문제를 머릿속으로 풀어본 뒤 펼쳐서 정답과 풀이를 확인해 보세요.

Q1 원 x² + y² = 25 위의 점 (3, 4)에서의 접선의 방정식은?

① 4x - 3y = 25
② 3x + 4y = 25
③ 3x - 4y = 25
④ 4x + 3y = 25

정답 ② 3x + 4y = 25

원 x²+y²=r² 위의 점 (x₁, y₁)에서의 접선: x₁x + y₁y = r². 따라서 3x + 4y = 25입니다.

Q2 원 (x-1)² + (y-2)² = 8과 직선 y = x + k가 서로 다른 두 점에서 만날 때, 정수 k의 개수는?

① 5
② 7
③ 6
④ 8

정답 ② 7

원의 중심 (1, 2), 반지름 r=2√2. 직선 x-y+k=0과 중심 사이의 거리 d=|1-2+k|/√2=|k-1|/√2. 서로 다른 두 점에서 만나려면 d<r, 즉 |k-1|/√2 < 2√2이므로 |k-1| < 4. 따라서 -3 < k < 5이고 정수 k는 -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4로 7개.

Q3 두 원 x² + y² = 4와 (x-3)² + y² = 1이 있다. 원 위의 점 P(x² + y² = 4 위)와 점 Q((x-3)² + y² = 1 위)에 대하여 PQ의 최솟값은?

① 0
② 2
③ 3
④ 1

정답 ① 0

두 원의 중심 거리: O₁O₂ = 3. 반지름 r₁ = 2, r₂ = 1. r₁ + r₂ = 3 = O₁O₂이므로 두 원은 외접합니다. 따라서 PQ의 최솟값 = O₁O₂ - r₁ - r₂ = 3 - 2 - 1 = 0.

Q4 중심이 원점이고 반지름이 5인 원의 방정식은?

①x²+y²=5
②x²+y²=25
③(x-5)²+y²=0
④x²+y²=10

정답 ②x²+y²=25

중심 (0,0), 반지름 r인 원은 x²+y²=r²입니다. r=5이므로 x²+y²=25입니다.

Q5 중심이 (2,3)이고 반지름이 4인 원의 방정식은?

①(x-2)²+(y-3)²=8
②(x-2)²+(y-3)²=16
③(x+2)²+(y+3)²=16
④(x-2)²+(y-3)²=4

정답 ②(x-2)²+(y-3)²=16

중심 (a,b), 반지름 r인 원은 (x-a)²+(y-b)²=r²입니다. (x-2)²+(y-3)²=16입니다.

개념 미니맵 — 어디에 놓인 개념인가요

자주 묻는 질문

Q1원 위의 점에서 접선의 방정식은 어떻게 구하나요?

원

x^{2} + y^{2} = r^{2}

위의 점

(x_{1}, y_{1})

에서의 접선은

x_{1} x + y_{1} y = r^{2}

입니다.

Q2두 원의 교점을 지나는 직선(공통현)은 어떻게 구하나요?

두 원의 방정식을 빼면 직선 방정식이 나옵니다.

Q3원 밖의 점에서 접선을 그을 수 있나요?

네, 원 밖의 점에서 원에 그을 수 있는 접선은 두 개입니다. 접선의 기울기를 미지수로 놓고 판별식

D = 0

을 이용해 구합니다.

집필 우주정복치즈케이크 수학팀 최종 검토 2026-05-24

출처 교육부 고시 제2022-33호 · NCIC 국가교육과정정보센터

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