고등학교 고1-2 기하

직선의 방정식

Q: 수직선(x = k)의 기울기는 얼마인가요?

수직선은 기울기가 정의되지 않습니다(undefined). y = mx + n 형태로 표현할 수 없습니다.

Q: 직선이 평행한데 같은 기울기면 언제 일치하나요?

y절편까지 같으면 두 직선은 일치합니다. y절편이 다르면 평행(교점 없음)입니다.

직선의 방정식을 세우고 두 직선의 평행·수직·교점 관계를 파악합니다.

내비게이션이 두 도로의 교차점을 찾는 방식이 직선 방정식의 교점 계산과 같습니다.

쉽게 말하면

기울기 $m$ 과 $y$ 절편 $n$ 으로 표현하는 형태( $y = m x + n$ )가 기본입니다. 두 점 $(x_{1}, y_{1})$ , $(x_{2}, y_{2})$ 를 지나는 직선의 기울기는 $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ 입니다. 직선의 방정식은 $a x + b y + c = 0$ 일반형으로도 씁니다. 두 직선이 평행하면 기울기가 같고( $m_{1} = m_{2}$ , $y$ 절편은 다름), 수직이면 기울기의 곱이 $- 1$ ( $m_{1} m_{2} = - 1$ )입니다. 점 $(x_{0}, y_{0})$ 에서 직선 $a x + b y + c = 0$ 까지의 거리 공식은 $d = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ 이며 원의 방정식, 도형 문제에 자주 활용됩니다.

숫자로 보는 예시

예시 1

$두 점 (1, 2), (3, 6) 을 지나는 직선 : m = \frac{6 - 2}{3 - 1} = 2 \Rightarrow y - 2 = 2 (x - 1) \Rightarrow y = 2 x$

두 점의 기울기를 구하고 점-기울기 형태로 방정식을 세웠습니다.
예시 2

$y = 3 x + 1 ⊥ y = - \frac{1}{3} x + 2 (기울기 곱 = 3 \times (- \frac{1}{3}) = - 1)$

두 직선이 수직임을 기울기 곱으로 확인했습니다.
예시 3

$점 (2, 1) 에서 직선 3 x + 4 y - 5 = 0 까지의 거리 : d = \frac{∣6 + 4 - 5∣}{9 + 16} = \frac{5}{5} = 1$

점과 직선 사이의 거리 공식을 적용했습니다.

풀이 절차

직선의 방정식 세우기

1 ① 조건(두 점, 기울기+한 점, 절편)을 확인합니다.
2 ② 기울기 $m$ 을 계산합니다.
3 ③ 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 를 이용해 방정식을 세웁니다.
4 ④ 필요에 따라 $a x + b y + c = 0$ 일반형으로 정리합니다.

자주 하는 실수

수직 조건 오류

❌ 안 좋은 예 수직이면 기울기가 반대 부호(

m_{1} = - m_{2}

)

✓ 좋은 예 수직이면 기울기의 곱이

- 1

(

m_{1} \times m_{2} = - 1

)

왜요? 기울기 반대 부호는 수직이 아니라 원점 대칭 관계입니다.

거리 공식에서 절댓값 누락

❌ 안 좋은 예

d = \frac{a x _{0} + b y _{0} + c}{a ^{2} + b ^{2}}

(절댓값 없음)

✓ 좋은 예

d = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}

왜요? 거리는 음수가 될 수 없으므로 절댓값을 반드시 씁니다.

자가진단 — 풀어보면서 확인하기

아래 문제를 머릿속으로 풀어본 뒤 펼쳐서 정답과 풀이를 확인해 보세요.

Q1 두 점 A(-1, 3), B(3, -1)을 잇는 선분 AB를 1:3으로 내분하는 점의 좌표는?

① (0, 2)
② (1, 2)
③ (1, 1)
④ (0, 1)

정답 ① (0, 2)

내분점 공식: ((1·3 + 3·(-1))/(1+3), (1·(-1) + 3·3)/(1+3)) = (0/4, 8/4) = (0, 2)입니다.

Q2 직선 4x - 3y + 5 = 0에 수직이고 점 (2, 1)을 지나는 직선의 방정식을 y = ax + b라 할 때, a + b의 값은?

① 5/4
② -1/4
③ 7/4
④ -5/4

정답 ③ 7/4

주어진 직선의 기울기: 4/3. 수직인 직선의 기울기: -3/4. y - 1 = -3/4(x - 2)에서 y = -3x/4 + 3/2 + 1 = -3x/4 + 5/2. a = -3/4, b = 5/2이므로 a + b = -3/4 + 10/4 = 7/4.

Q3 세 직선 x + y - 3 = 0, x - y - 1 = 0, ax + y - 5 = 0이 한 점에서 만날 때, 상수 a의 값은?

① 1
② 4
③ 3
④ 2

정답 ④ 2

처음 두 직선을 연립하면 x+y=3, x-y=1에서 두 식을 더해 2x=4, x=2이고 y=1. 따라서 교점은 (2, 1). 세 번째 직선 ax+y-5=0이 (2, 1)을 지나려면 2a+1-5=0, 즉 2a=4, a=2.

Q4 두 점 A(1,2), B(5,6)의 중점의 좌표는?

①(2,3)
②(6,8)
③(4,4)
④(3,4)

정답 ④(3,4)

중점은 두 점 좌표의 평균입니다. ((1+5)/2, (2+6)/2)=(3,4)입니다.

Q5 기울기가 2이고 점 (0,3)을 지나는 직선의 방정식은?

①y=2x+3
②y=2x
③y=2x-3
④y=3x+2

정답 ①y=2x+3

기울기 2, y절편 3인 직선은 y=2x+3입니다. y절편이 3이므로 (0,3)을 지납니다.

개념 미니맵 — 어디에 놓인 개념인가요

자주 묻는 질문

Q1수직선(

x = k

)의 기울기는 얼마인가요?

수직선은 기울기가 정의되지 않습니다(undefined).

y = m x + n

형태로 표현할 수 없습니다.

Q2두 직선의 교점은 어떻게 구하나요?

두 직선의 방정식을 연립하여 풀면 교점의 좌표를 구할 수 있습니다.

Q3직선이 평행한데 같은 기울기면 언제 일치하나요?

y

절편까지 같으면 두 직선은 일치합니다.

y

절편이 다르면 평행(교점 없음)입니다.

집필 우주정복치즈케이크 수학팀 최종 검토 2026-05-24

출처 교육부 고시 제2022-33호 · NCIC 국가교육과정정보센터

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직선의 방정식을 익혔다면 원의 방정식(circle_eq)과 연계해 직선-원 교점 문제를 풀어 보세요.

직선의 방정식 문제 풀어보기

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