벡터

쉽게 말하면

벡터 연산: $\vec{a}+\vec{b}$, $k\vec{a}$ (스칼라 배), $|\vec{a}|$ (크기)

내적(dot product): $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta =a_1{b}_1+a_2{b}_2$
- $\vec{a}\perp \vec{b}\iff \vec{a}\cdot \vec{b}=0$
- $\vec{a}\parallel \vec{b}\iff \vec{a}=k\vec{b}$ (스칼라 배)

위치벡터: 원점 $O$를 기준으로 점 $P$의 위치를 $\overrightarrow{OP}=\vec{p}$로 나타냅니다. 분점 공식:
$$\text{점 }P\text{가 선분 }AB\text{를 }m:n\text{으로 내분할 때}\vec{p}=\frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$$
AP:PB = m:n이면 분점 P의 위치벡터는 $\vec{p}=\frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$. 비율과 계수가 교차합니다: AP 쪽 비율 m이 B의 위치벡터 $\vec{b}$의 계수가 되고, PB 쪽 비율 n이 A의 위치벡터 $\vec{a}$의 계수가 됩니다.

성분 표현: $\vec{a}=(a_1,a_2)$이면 $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$, $\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2$.

수능 기하에서는 두 벡터의 내적을 이용한 각도 계산, 위치벡터를 이용한 삼각형의 무게중심·내분점 문항이 출제됩니다.

숫자로 보는 예시

1. 예시 1
   $$\vec{a}=(3,4),|\vec{a}|=\sqrt{9+16}=5$$
   벡터 크기는 성분의 제곱합의 제곱근입니다.
2. 예시 2
   $$\vec{a}=(1,2),\vec{b}=(4,-2)\Rightarrow \vec{a}\cdot \vec{b}=4-4=0\Rightarrow \vec{a}\perp \vec{b}$$
   내적이 0이면 두 벡터는 서로 수직입니다.
3. 예시 3
   $$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{(2)(1)+(-1)(2)}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\frac{0}{5}=0\Rightarrow \theta =90°$$
   내적 공식으로 두 벡터 사이의 각도를 구합니다.
4. 예시 4
   $$\text{A}(1,2),\text{B}(7,5)\text{를 }2:1\text{로 외분하는 점 P}:x=\frac{2\cdot 7-1\cdot 1}{2-1}=13,y=\frac{2\cdot 5-1\cdot 2}{2-1}=8\Rightarrow \text{P}(13,8)$$
   외분점 공식: $m:n$으로 외분 시 $\left(\frac{m{x}_2-n{x}_1}{m-n},\frac{m{y}_2-n{y}_1}{m-n}\right)$. 내분 공식과 분자 부호가 다름에 주의합니다.

풀이 절차

벡터 문제 해결 순서

1. 1 필요한 벡터를 성분 또는 크기+방향 형태로 정리합니다.
2. 2 내적 $\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2$로 계산하거나 $|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$ 형태로 씁니다.
3. 3 수직 여부는 내적=0, 평행 여부는 스칼라 배 관계로 판별합니다.
4. 4 위치벡터 문제는 분점·중점 공식을 적용해 좌표를 구합니다.

자주 하는 실수

자가진단 — 풀어보면서 확인하기

아래 문제를 머릿속으로 풀어본 뒤 펼쳐서 정답과 풀이를 확인해 보세요.

개념 미니맵 — 어디에 놓인 개념인가요

자주 묻는 질문