공간벡터

쉽게 말하면

3차원 좌표: 점 $P(x,y,z)$, 두 점 $A$, $B$ 사이의 거리 $\overline{AB}=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$

공간벡터: $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$, $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$

내적: $\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$. 수직이면 내적 = 0.

직선: 점 $P_0$를 지나고 방향벡터 $\vec{d}$인 직선: $\vec{r}=\overrightarrow{p_0}+t\vec{d}$

평면: 점 $P_0$를 지나고 법선벡터 $\vec{n}=(a,b,c)$인 평면: $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$

수능 기하에서는 법선벡터를 이용한 두 평면 사이의 각도, 점과 평면 사이의 거리 공식이 핵심 출제 포인트입니다.

숫자로 보는 예시

1. 예시 1
   $$A(1,2,3),B(4,6,3)\Rightarrow \overline{AB}=\sqrt{9+16+0}=5$$
   각 좌표 차이를 제곱해 더한 뒤 제곱근을 취합니다.
2. 예시 2
   $$\vec{a}=(1,2,-2),\vec{b}=(3,0,1)\Rightarrow \vec{a}\cdot \vec{b}=3+0-2=1$$
   내적이 0이 아니므로 두 벡터는 수직이 아닙니다.
3. 예시 3
   $$\vec{n}=(1,-1,2),P_0(0,1,0)\Rightarrow x-(y-1)+2z=0\Rightarrow x-y+2z+1=0$$
   법선벡터와 지나는 점으로 평면의 방정식을 세웁니다.

풀이 절차

공간 도형 분석 순서

1. 1 좌표나 벡터 정보를 읽고 방향벡터 또는 법선벡터를 파악합니다.
2. 2 직선이면 매개변수 표현, 평면이면 법선벡터로 방정식을 세웁니다.
3. 3 내적 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$으로 수직 여부, $\cos \theta$로 각도를 구합니다.
4. 4 점과 평면 거리를 필요에 따라 적용합니다. 평면 $ax+by+cz+k=0$과 점 $(x_0,y_0,z_0)$ 사이의 거리: $d=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+k|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.

자주 하는 실수

자가진단 — 풀어보면서 확인하기

아래 문제를 머릿속으로 풀어본 뒤 펼쳐서 정답과 풀이를 확인해 보세요.

개념 미니맵 — 어디에 놓인 개념인가요

자주 묻는 질문