이차곡선

쉽게 말하면

포물선 (가로 방향) $y^2=4px$ ($p>0$): 초점 $F(p,0)$, 준선 $x=-p$. (세로 방향) $x^2=4py$ ($p>0$): 초점 $F(0,p)$, 준선 $y=-p$. 포물선 위의 점에서 초점과 준선까지의 거리는 같습니다. 수능에서는 가로·세로 방향 모두 출제됩니다.

타원 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$): 두 초점 $F(\pm c,0)$ ($c^2=a^2-b^2$), 두 초점까지 거리의 합 = $2a$.

쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$: 두 초점 $F(\pm c,0)$ ($c^2=a^2+b^2$), 두 초점까지 거리의 차 = $2a$. 점근선 $y=\pm \frac{b}{a}x$.

수능 기하에서는 이차곡선의 정의(거리 조건)를 활용해 길이를 구하는 문항이 핵심입니다.

숫자로 보는 예시

1. 예시 1
   $$y^2=8x\Rightarrow p=2,\text{초점 }F(2,0),\text{준선 }x=-2$$
   $4p=8$이므로 $p=2$. 포물선의 정의로 준선까지 거리 = 초점까지 거리.
2. 예시 2
   $$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\Rightarrow c=\sqrt{25-9}=4,\text{초점 }(\pm 4,0)$$
   장축 $a=5$, 단축 $b=3$. 타원 위 임의의 점에서 두 초점까지 거리의 합 = 10.
3. 예시 3
   $$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\Rightarrow c=\sqrt{9+16}=5,\text{점근선 }y=\pm \frac{4}{3}x$$
   쌍곡선의 두 초점 간 거리 $2c=10$, 두 초점까지 거리의 차 = $2a=6$.
4. 예시 4
   $$\begin{gathered} \text{포물선 }{y}^2=4px\text{ 위의 점 }(x_1,y_1)\text{에서 접선: }{y}_{1}y=2p(x+x_1). \\ \text{타원 }\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\text{ 위의 점 }(x_1,y_1)\text{에서 접선: }\frac{x_{1}x}{a^2}+\frac{y_{1}y}{b^2}=1. \\ \text{쌍곡선 }\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\text{ 위의 점 }(x_1,y_1)\text{에서 접선: }\frac{x_{1}x}{a^2}-\frac{y_{1}y}{b^2}=1. \end{gathered}$$
   이차곡선 위의 점에서 접선 공식. 예: 타원 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 위의 점 $(3,0)$에서 접선은 $\frac{3x}{9}+\frac{0}{4}=1$, 즉 $x=3$ (수직 접선). 각 공식은 원래 방정식에서 $x^2\to x_{1}x$, $y^2\to y_{1}y$로 대체해 도출합니다.

풀이 절차

이차곡선 분석 순서

1. 1 방정식의 형태로 곡선 종류(포물선/타원/쌍곡선)를 파악합니다.
2. 2 $a$, $b$, $c$ 값을 관계식($c^2=a^2\pm b^2$)으로 구합니다.
3. 3 초점 좌표와 준선(포물선) 또는 점근선(쌍곡선)을 씁니다.
4. 4 문제에서 요구하는 거리 조건(정의)을 적용해 미지수를 구합니다.

자주 하는 실수

자가진단 — 풀어보면서 확인하기

아래 문제를 머릿속으로 풀어본 뒤 펼쳐서 정답과 풀이를 확인해 보세요.

개념 미니맵 — 어디에 놓인 개념인가요

자주 묻는 질문