고등학교 고3 함수

고급 적분

Q: u 선택 순서(로그→역삼각→다항→삼각→지수)가 항상 통하나요?

대부분 유효하지만 절대 규칙은 아닙니다. \int e^x\sin x\,dx처럼 부분적분을 두 번 반복해야 하는 경우도 있습니다.

Q: ∫ ln x dx는 어떻게 계산하나요?

u=\ln x, dv=dx로 부분적분하면 x\ln x - x + C가 됩니다.

부분적분과 치환적분으로 복잡한 함수의 부정적분·정적분을 구하는 기법입니다.

화학 공정에서 반응물을 단계별로 분해하듯, 복잡한 피적분 함수를 두 조각으로 나눠 순서대로 처리합니다.

쉽게 말하면

치환적분: $\int f (g (x)) g^{'} (x) d x$ 에서 $u = g (x)$ 로 놓으면 $\int f (u) d u$ 로 단순화됩니다. 변수가 바뀌면 적분 구간도 함께 바꿔야 합니다.

부분적분: 곱 형태 $\int u d v = uv - \int v d u$ 를 이용합니다. $u$ 를 선택할 때는 미분이 간단해지는 함수를 우선합니다. 선택 순서: 로그 → 역삼각 → 다항 → 삼각 → 지수.

기우함수 정적분: $\int_{- a}^{a} f (x) d x$ 에서 $f$ 가 홀함수(기함수)이면 $0$ , 짝함수(우함수)이면 $2 \int_{0}^{a} f (x) d x$ .

수능 고난도 문항에서는 치환적분과 부분적분을 한 문항에 함께 쓰도록 설계되는 경우가 많으니, 두 기법을 유연하게 전환할 수 있어야 합니다.

숫자로 보는 예시

예시 1

$\int x e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

$u = x^{2}$ 으로 치환하면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} \int e^{u} d u$ 가 됩니다.
예시 2

$\int x e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C = (x - 1) e^{x} + C$

$u = x$ , $d v = e^{x} d x$ 로 부분적분. $v = e^{x}$ , $d u = d x$ .
예시 3

$\int_{0}^{1} x 1 - x^{2} d x = \frac{1}{3}$

$u = 1 - x^{2}$ 으로 치환 후 구간을 $u : 1 \to 0$ 으로 변환해 계산합니다.
예시 4

$\int_{- a}^{a} f (x) d x = ⎩ ⎨ ⎧ 0 2 \int_{0}^{a} f (x) d x (f 가 홀함수) (f 가 짝함수)$

예: $\int_{- 1}^{1} x^{3} d x = 0$ (홀함수), $\int_{- 1}^{1} x^{2} d x = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ (짝함수). 계산 전 홀·짝 여부를 먼저 확인하면 계산량을 절반으로 줄일 수 있습니다.

풀이 절차

치환·부분적분 선택 순서

1 피적분 함수에 합성함수 구조( $f (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ )가 있으면 치환적분을 시도합니다.
2 곱 구조( $u \cdot v^{'}$ )이면 '로그 → 역삼각 → 다항 → 삼각 → 지수' 순서로 $u$ 를 결정해 부분적분을 적용합니다.
3 정적분이면 치환 후 적분 구간을 새 변수 기준으로 반드시 갱신합니다.
4 결과에 $+ C$ (부정적분) 또는 구간 대입(정적분)을 붙여 마무리합니다.

자주 하는 실수

정적분 치환 시 구간 미변환

❌ 안 좋은 예

u = x^{2}, \int_{0}^{1} \dots d u 구간 그대로 사용

✓ 좋은 예

u = x^{2} \Rightarrow x = 0 일 때 u = 0, x = 1 일 때 u = 1

왜요? 치환하면 변수가 바뀌므로 적분 구간도 반드시 새 변수에 맞게 바꿔야 합니다.

부분적분 공식의 부호 처리

❌ 안 좋은 예

\int x sin x d x 에서 u = x, d v = sin x d x 로 놓고 v = - cos x 인데, 공식 uv - \int v d u 의 두 번째 항을 그냥 + \int (- cos x) d x 로 잘못 옮기기

✓ 좋은 예

\int x sin x d x = - x cos x - \int (- cos x) d x = - x cos x + sin x + C

왜요?

uv - \int v d u

에서 두 번째 항 앞 부호는 항상

-

입니다. v가 음수일 때 부호가 두 번 뒤집힘에 주의.

자가진단 — 풀어보면서 확인하기

아래 문제를 머릿속으로 풀어본 뒤 펼쳐서 정답과 풀이를 확인해 보세요.

Q1 ∫ eˣ dx는?

① eˣ/x + C
② xeˣ + C
③ eˣ⁺¹/(x+1) + C
④ eˣ + C

정답 ④ eˣ + C

(eˣ)' = eˣ이므로 eˣ의 원시함수는 eˣ 자신입니다. 따라서 ∫eˣdx = eˣ + C.

Q2 ∫x·eˣ dx를 부분적분으로 계산하면?

① xeˣ - eˣ + C
② xeˣ + eˣ + C
③ x²eˣ/2 + C
④ eˣ + C

정답 ① xeˣ - eˣ + C

u = x, v' = eˣ로 놓으면 u' = 1, v = eˣ. 부분적분: ∫x·eˣdx = xeˣ - ∫eˣdx = xeˣ - eˣ + C = (x-1)eˣ + C.

Q3 ∫₀^(π/2) x·cos x dx의 값은?

① π/2 + 1
② π - 1
③ π/2 - 1
④ 1

정답 ③ π/2 - 1

u = x, v' = cos x → u' = 1, v = sin x. ∫x cos x dx = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cos x + C. 정적분: [x sin x + cos x]₀^(π/2) = (π/2 · 1 + 0) - (0 + 1) = π/2 - 1.

Q4 ∫ sin x dx는? (C는 적분상수)

①cos x + C
②-cos x + C
③sin x + C
④-sin x + C

정답 ②-cos x + C

(−cos x)' = sin x이므로 ∫sin x dx = -cos x + C입니다.

Q5 ∫ (1/x) dx는? (단, x > 0, C는 적분상수)

①1/x² + C
②x + C
③-1/x² + C
④ln x + C

정답 ④ln x + C

(ln x)' = 1/x이므로 ∫(1/x)dx = ln x + C입니다 (x>0).

개념 미니맵 — 어디에 놓인 개념인가요

자주 묻는 질문

Q1치환적분과 부분적분 중 어느 것을 먼저 시도해야 하나요?

합성함수 형태가 보이면 치환적분이 먼저입니다. 두 함수의 곱이면 부분적분을 시도하세요.

Q2u 선택 순서(로그→역삼각→다항→삼각→지수)가 항상 통하나요?

대부분 유효하지만 절대 규칙은 아닙니다.

\int e^{x} sin x d x

처럼 부분적분을 두 번 반복해야 하는 경우도 있습니다.

\int ln x d x

는 어떻게 계산하나요?

u = ln x

d v = d x

로 부분적분하면

x ln x - x + C

가 됩니다.

집필 우주정복치즈케이크 수학팀 최종 검토 2026-05-24

출처 교육부 고시 제2022-33호 · NCIC 국가교육과정정보센터

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