극값과 증감

쉽게 말하면

증감표 작성: $f^{\prime }(x)=0$이 되는 $x$ 값(임계점)을 구하고 그 좌우에서 $f^{\prime }$의 부호를 조사합니다.

- $f^{\prime }(x)$가 $+\to -$로 바뀌면 극대
- $f^{\prime }(x)$가 $-\to +$로 바뀌면 극소
- 부호가 바뀌지 않으면 극값이 아닙니다(변곡점일 수 있음).

최대·최소: 닫힌 구간 $[a,b]$에서는 극값 후보와 양 끝값 $f(a)$, $f(b)$를 모두 비교합니다.

이계도함수 판정: $f^{\prime }(c)=0$이고 $f^{\prime \prime }(c)<0$이면 극대, $f^{\prime \prime }(c)>0$이면 극소. 단 $f^{\prime \prime }(c)=0$이면 증감표로 직접 확인해야 합니다.

임계점은 $f^{\prime }(x)=0$인 점뿐 아니라 $f^{\prime }(x)$가 정의되지 않는 점(꺾인 점, 뾰족점)도 포함됩니다.

수능 30번 유형에서는 조건을 만족하는 함수의 극값 개수나 최솟값을 구하는 복합 문항이 자주 출제됩니다.

숫자로 보는 예시

1. 예시 1
   $$f(x)=x^3-3x\Rightarrow f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$$
   $x=-1$: 극대 $f(-1)=2$, $x=1$: 극소 $f(1)=-2$.
2. 예시 2
   $$g(x)=x^4-4x^3,g^{\prime }(x)=4x^2(x-3)$$
   $x=0$에서 $g^{\prime }$의 부호 불변 → 극값 없음. $x=3$: 극소 $g(3)=-27$.
3. 예시 3
   $$[0,4]\text{에서 }f(x)=x^3-3x:f(0)=0,f(1)=-2,f(4)=52$$
   최솟값 $-2$ (극소), 최댓값 $52$ (끝값). 끝값을 반드시 비교합니다.

풀이 절차

극값·최대최소 판별 순서

1. 1 $f^{\prime }(x)$를 계산하고 $f^{\prime }(x)=0$의 해(임계점)를 구합니다.
2. 2 임계점 좌우에서 $f^{\prime }(x)$의 부호를 조사해 증감표를 완성합니다.
3. 3 부호가 $+\to -$이면 극대, $-\to +$이면 극소로 표시합니다.
4. 4 닫힌 구간이면 극값과 양 끝값을 모두 비교해 최대·최소를 결정합니다.

자주 하는 실수

개념 미니맵 — 어디에 놓인 개념인가요

자주 묻는 질문