고등학교 고2-1 함수

로그함수

y = logₐx (a>0, a≠1, x>0) 형태의 함수로, 지수함수의 역함수입니다.

소리 크기를 데시벨로 나타내는 것 — 음압이 10배 되어도 dB는 20만 증가하는 로그 감각.

쉽게 말하면

로그함수 y = logₐx의 그래프는 y = aˣ와 y = x에 대해 대칭입니다. a > 1이면 x가 커질수록 y도 천천히 증가(단조 증가), 0 < a < 1이면 단조 감소합니다. 그래프는 항상 (1, 0)을 지나며 y축이 점근선입니다. 로그방정식은 진수 조건(양수)을 먼저 확인한 후 밑을 통일하거나 로그 법칙을 적용해 풀며, 로그부등식은 밑의 크기에 따라 부등호 방향을 결정합니다.

숫자로 보는 예시

예시 1

$y = lo g_{2} x 에서 x = 8 \Rightarrow y = 3, x = \frac{1}{4} \Rightarrow y = - 2$

밑이 2인 로그함수의 기본 값 계산입니다.
예시 2

$lo g_{3} (x - 1) = 2 \Rightarrow x - 1 = 9 \Rightarrow x = 10 (x - 1 > 0 만족)$

로그방정식을 지수 정의로 변환해 풉니다.
예시 3

$lo g_{\frac{1}{2}} x > - 3 \Rightarrow x < (\frac{1}{2})^{- 3} = 8 (x > 0 조건 포함)$

밑이 1보다 작으므로 부등호 방향이 반전됩니다.

풀이 절차

로그방정식·부등식 풀기

1 진수 조건(x > 0, 또는 진수 식 > 0)을 먼저 설정합니다.
2 양변의 로그 밑을 통일하거나, 정의 logₐb = c ⟺ aᶜ = b를 이용해 지수 형태로 변환합니다.
3 부등식이면 a > 1(부등호 유지), 0 < a < 1(부등호 반전)을 적용합니다.
4 구한 x가 진수 조건을 만족하는지 최종 확인합니다.

자주 하는 실수

진수 조건 빠뜨리기

❌ 안 좋은 예 log(2x-5) = 3에서 x = 66.5로 바로 종료

✓ 좋은 예 2x-5 > 0, 즉 x > 2.5 조건 확인 후 x = 66.5 최종 답

왜요? 로그의 진수는 반드시 양수여야 하므로 조건 검토가 필수입니다.

밑에 따른 부등호 방향 혼동

❌ 안 좋은 예 log₀.₅ x > -2 → x > (0.5)⁻² = 4

✓ 좋은 예 log₀.₅ x > -2 → x < 4 (밑 < 1이면 반전)

왜요? 0 < a < 1인 로그함수는 단조 감소이므로 부등호 방향이 바뀝니다.

자가진단 — 풀어보면서 확인하기

아래 문제를 머릿속으로 풀어본 뒤 펼쳐서 정답과 풀이를 확인해 보세요.

Q1 y = log₃(x + 2)의 그래프에서 점근선과 x절편을 순서대로 나열하면?

① x = -2, x절편 1
② x = 2, x절편 -1
③ x = -2, x절편 -1
④ y = 0, x절편 1

정답 ③ x = -2, x절편 -1

y = log₃(x+2)는 진수 x+2 > 0이어야 하므로 점근선은 x = -2. x절편: y = 0이면 x+2 = 1, x = -1. 따라서 점근선 x = -2, x절편 -1.

Q2 부등식 log₃(2x-2) < log₃(x+4)의 해를 a < x < b라 할 때, b - a의 값은?

① 5
② 4
③ 2
④ 3

정답 ① 5

log₃의 밑이 1보다 크므로 부등식은 2x-2 < x+4와 동치이고 x < 6. 진수 조건: 2x-2 > 0에서 x > 1이고 x+4 > 0은 자동 성립. 따라서 해는 1 < x < 6이므로 a=1, b=6, b-a=5.

Q3 log₂x + log₂(x+6) = 4를 풀면 x의 값은?

① 4
② 6
③ 8
④ 2

정답 ④ 2

log₂(x(x+6)) = 4이므로 x(x+6) = 16. x²+6x-16 = 0, (x+8)(x-2) = 0. x > 0이므로 x = 2.

Q4 함수 y = log₂x에서 x = 8일 때 y의 값은?

①8
②4
③3
④2

정답 ③3

y = log₂8 = 3입니다. 2³ = 8이기 때문입니다.

Q5 로그함수 y = log₃x의 그래프가 항상 지나는 점은?

①(1, 0)
②(3, 1)
③(0, 0)
④(0, 1)

정답 ①(1, 0)

log₃1 = 0이므로 y = log₃x는 항상 점 (1, 0)을 지납니다. 모든 로그함수의 공통 성질입니다.

개념 미니맵 — 어디에 놓인 개념인가요

자주 묻는 질문

Q1로그함수와 지수함수의 그래프가 y=x에 대해 대칭인 이유는 무엇인가요?

역함수 관계에 있기 때문입니다. f(x) = aˣ의 역함수가 f⁻¹(x) = logₐx이고, 역함수 그래프는 원함수와 y=x에 대해 항상 대칭입니다.

Q2로그함수에서 x = 0은 왜 정의역에서 제외되나요?

aᶜ = 0을 만족하는 실수 c는 존재하지 않으므로, log 0은 정의되지 않습니다.

Q3로그방정식과 로그부등식의 풀이에서 가장 중요한 것은 무엇인가요?

진수 조건 설정과 밑의 크기에 따른 부등호 방향 결정입니다. 이 두 가지를 놓치면 오답 처리됩니다.

집필 우주정복치즈케이크 수학팀 최종 검토 2026-05-24

출처 교육부 고시 제2022-33호 · NCIC 국가교육과정정보센터

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