고등학교 고2-1 문자와식

수열의 합(∑)

∑(시그마)는 수열의 합을 간결하게 나타내는 기호로, Σₖ₌₁ⁿ aₖ = a₁+a₂+…+aₙ입니다.

스프레드시트의 SUM() 함수 — 여러 셀의 합을 한 번에 표현하는 것처럼 ∑가 수열 합을 압축합니다.

쉽게 말하면

∑의 핵심 공식 세 가지: Σk = n(n+1)/2, Σk² = n(n+1)(2n+1)/6, Σk³ = [n(n+1)/2]². 성질: Σ(aₖ+bₖ) = Σaₖ + Σbₖ, Σcaₖ = c·Σaₖ (c는 상수). 수열의 합 Sₙ에서 일반항은 aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ (n≥2)로 구합니다. ∑ 기호는 통계에서 편차 제곱합, 물리에서 일·충격량 합산, 공학에서 급수 근사까지 폭넓게 활용됩니다.

숫자로 보는 예시

예시 1

$k = 1 \sum 10 k = \frac{10 \times 11}{2} = 55$

1부터 10까지의 자연수 합입니다.
예시 2

$k = 1 \sum 5 (2 k^{2} - 3 k) = 2 \cdot \frac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} - 3 \cdot \frac{5 \cdot 6}{2} = 110 - 45 = 65$

분리와 공식을 함께 사용하는 기본 계산입니다.
예시 3

$S_{n} = n^{2} + 2 n \Rightarrow a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = (n^{2} + 2 n) - ((n - 1)^{2} + 2 (n - 1)) = 2 n + 1$

합 Sₙ으로부터 일반항을 역으로 구합니다.
예시 4

$a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1, a_{1} = 1 \Rightarrow a_{2} = 3, a_{3} = 7, a_{4} = 15, \dots \Rightarrow a_{n} = 2^{n} - 1$

점화식 기초: $a_{n + 1} + 1 = 2 (a_{n} + 1)$ 로 변환하면 $b_{n} = a_{n} + 1$ 이 공비 2인 등비수열. $b_{1} = 2$ 이므로 $b_{n} = 2^{n}$ , 따라서 $a_{n} = 2^{n} - 1$ .

풀이 절차

∑ 계산하기

1 ∑ 기호 안의 식을 상수·k·k²·k³의 선형결합으로 분리합니다.
2 각 항에 해당 공식(Σ1=n, Σk=n(n+1)/2 등)을 적용합니다.
3 계수(상수 배)와 합·차 분리 성질로 정리합니다.
4 Sₙ → aₙ 역추적이 필요하면 aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ (n≥2), a₁ = S₁을 별도 확인합니다.

자주 하는 실수

n=1일 때 일반항 공식 미검증

❌ 안 좋은 예 aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ 공식을 n=1에도 그대로 적용

✓ 좋은 예 a₁ = S₁을 직접 계산해 n≥2 공식과 일치하는지 확인

왜요? n=0이 되면 S₀가 의미 없는 경우가 있어 n=1은 반드시 별도 검토해야 합니다.

∑ 상한·하한 혼동

❌ 안 좋은 예 Σₖ₌₁¹⁰ k에서 n = 10을 n = 9로 착각해 계산

✓ 좋은 예 하한이 1, 상한이 10이면 항수 n = 10

왜요? 하한이 1이 아닌 경우(k=3부터 등) 항수를 10-3+1 = 8처럼 정확히 셉니다.

자가진단 — 풀어보면서 확인하기

아래 문제를 머릿속으로 풀어본 뒤 펼쳐서 정답과 풀이를 확인해 보세요.

Q1 ∑(k=1 to 10)(3k - 2)의 값은?

① 155
② 175
③ 165
④ 145

정답 ④ 145

∑(3k-2) = 3∑k - 2×10 = 3×(10×11/2) - 20 = 165 - 20 = 145.

Q2 ∑(k=1 to n) k² = n(n+1)(2n+1)/6을 이용하여 ∑(k=1 to n)(2k-1)²의 값을 구하면?

① n(2n+1)(2n+3)/3
② 2n(n+1)(2n+1)/3
③ n(n+1)(2n+1)/3
④ n(2n-1)(2n+1)/3

정답 ④ n(2n-1)(2n+1)/3

∑(2k-1)² = ∑(4k²-4k+1) = 4·n(n+1)(2n+1)/6 - 4·n(n+1)/2 + n = n[(2(n+1)(2n+1)/3 - 2(n+1) + 1)] = n[(2n+1)(2n+2)/3 - 2n - 2 + 1] = ... 최종 정리: n(2n-1)(2n+1)/3.

Q3 수열 {aₙ}이 Sₙ = n² + 3n으로 주어질 때, ∑(k=1 to 5) aₖ의 값과 a₅의 값의 합은?

① 50
② 52
③ 55
④ 48

정답 ② 52

∑(k=1 to 5)aₖ = S₅ = 25 + 15 = 40. n ≥ 2일 때 aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ = (n²+3n) - ((n-1)²+3(n-1)) = 2n+2이므로 a₅ = 12. 따라서 합은 40 + 12 = 52.

Q4 ∑(k=1 to 5) k의 값은?

① 15
② 20
③ 25
④ 10

정답 ① 15

1+2+3+4+5 = 15입니다. ∑k = n(n+1)/2 = 5×6/2 = 15.

Q5 ∑(k=1 to n) c (c는 상수)의 값은?

① c²
② c
③ cn(n+1)/2
④ nc

정답 ④ nc

상수 c를 n번 더하므로 ∑c = nc입니다.

개념 미니맵 — 어디에 놓인 개념인가요

자주 묻는 질문

Q1∑의 하한이 1이 아니면 어떻게 계산하나요?

Σₖ₌ₘⁿ aₖ = Σₖ₌₁ⁿ aₖ - Σₖ₌₁ᵐ⁻¹ aₖ로 분리해 각각 공식을 적용합니다.

Q2Σk⁴ 이상의 공식도 있나요?

있지만 고2 교육과정에서는 k³까지가 필수 범위입니다. k⁴ 이상은 대학 과정에서 다룹니다.

Q3수열의 합 Sₙ이 이차식이면 일반항은 반드시 일차식인가요?

대부분 그렇지만, n=1을 따로 확인해야 합니다. S₁ = a₁이 공식과 맞지 않을 수 있습니다.

집필 우주정복치즈케이크 수학팀 최종 검토 2026-05-24

출처 교육부 고시 제2022-33호 · NCIC 국가교육과정정보센터

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