함수의 극한

쉽게 말하면

(아래 삼각함수 극한 공식은 미적분 과목의 핵심으로, 수학II에서는 참고로만 학습합니다.)

lim₍ₓ→ₐ₎f(x) = L은 x≠a이면서 x가 a에 가까워질 때 f(x)가 L에 가까워짐을 의미합니다. 극한이 존재하려면 좌극한 = 우극한이어야 합니다. 극한법칙: 합·차·곱·몫의 극한은 각 함수의 극한에 같은 연산을 적용합니다(분모 극한이 0이 아닌 경우). 0/0 부정형은 인수분해·유리화로 처리합니다. x→∞ 극한에서는 최고차항으로 나누는 기법을 사용합니다.

삼각함수 극한 (중요 공식): ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$, ${\lim }_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1$, ${\lim }_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$.

숫자로 보는 예시

1. 예시 1
   $$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }(x+2)=4$$
   0/0 부정형을 인수분해로 제거합니다.
2. 예시 2
   $$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{3x^2-2x}{x^2+1}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{3-2/x}{1+1/x^2}=3$$
   x→∞ 극한에서 최고차항으로 분자·분모를 나눕니다.
3. 예시 3
   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\frac{1}{4}$$
   분자 유리화로 부정형을 해소합니다.
4. 예시 4
   $$\underset{x\to \infty }{\lim }(\sqrt{x^2+x}-x)=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{1+1/x}+1}=\frac{1}{2}$$
   ∞−∞ 부정형: 분자·분모에 켤레식 $(\sqrt{x^2+x}+x)$를 곱해 유리화한 뒤 최고차항 $x$로 나눕니다.
5. 예시 5
   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$$
   반각 공식 $1-\cos x=2{\sin }^2\frac{x}{2}$를 이용하면 $\frac{2{\sin }^2(x/2)}{x^2}=\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{\sin (x/2)}{x/2}\right)}^2\to \frac{1}{2}$. 또는 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$을 두 번 적용해도 같은 결과입니다.

풀이 절차

함수의 극한 계산하기

1. 1 x = a를 직접 대입해 봅니다. 분모≠0이면 그 값이 극한값입니다.
2. 2 0/0 부정형이면 인수분해 또는 유리화로 약분합니다.
3. 3 x→∞ 또는 x→-∞ 극한이면 최고차항으로 나누어 정리합니다.
4. 4 좌극한과 우극한을 따로 계산해 두 값이 같으면 극한이 존재합니다.

자주 하는 실수

자가진단 — 풀어보면서 확인하기

아래 문제를 머릿속으로 풀어본 뒤 펼쳐서 정답과 풀이를 확인해 보세요.

개념 미니맵 — 어디에 놓인 개념인가요

자주 묻는 질문