미분계수·도함수

쉽게 말하면

x=a에서의 미분계수: f'(a) = lim₍ₕ→₀₎ [f(a+h) - f(a)] / h. 이는 곡선 y=f(x) 위의 점 (a, f(a))에서의 접선 기울기와 같습니다. 도함수 f'(x) = lim₍ₕ→₀₎ [f(x+h) - f(x)] / h는 x를 변수로 두고 모든 점에서의 미분계수를 구한 것입니다. 미분 가능하려면 그 점에서 연속이어야 합니다(역은 성립하지 않습니다).

숫자로 보는 예시

1. 예시 1
   $$f(x)=x^2\Rightarrow f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(a+h{)}^2-a^2}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }(2a+h)=2a$$
   정의로부터 x²의 미분계수를 유도하는 과정입니다.
2. 예시 2
   $$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}=2x\Rightarrow f^{\prime }(3)=6$$
   도함수 f'(x) = 2x에서 특정 점의 미분계수를 구합니다.
3. 예시 3
   $$f(x)=|x|\Rightarrow f^{\prime }(0)=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{h}{h}=1\ne \underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{-h}{h}=-1\Rightarrow \text{미분 불가}$$
   연속이지만 x=0에서 미분 불가능한 경우입니다.
4. 예시 4
   $$f(x)=x^2\text{의 }x=2\text{에서의 접선: }{f}^{\prime }(2)=4,\text{ 접점 }(2,4),\text{ 접선 }y-4=4(x-2)\Rightarrow y=4x-4$$
   미분계수 = 접선 기울기. 접점 좌표와 기울기를 구한 뒤 점-기울기 형식으로 접선 방정식을 씁니다.

풀이 절차

정의로 미분계수 구하기

1. 1 f(a+h) - f(a)를 전개해 h로 묶을 수 있는 형태를 만듭니다.
2. 2 [f(a+h) - f(a)] / h를 정리해 h를 약분합니다.
3. 3 h → 0 극한을 취합니다.
4. 4 필요하면 좌미분·우미분을 각각 구해 일치 여부로 미분 가능성을 판정합니다.

자주 하는 실수

자가진단 — 풀어보면서 확인하기

아래 문제를 머릿속으로 풀어본 뒤 펼쳐서 정답과 풀이를 확인해 보세요.

개념 미니맵 — 어디에 놓인 개념인가요

자주 묻는 질문