화학 고3 반응 속도 심화

반감기

Q: 2가 왜 0.693인가요?

자연로그 2 = 0.6931·s이라는 상수 값입니다. 1차 반응의 지수식 [A] = [A]0 e-kt에서 절반이 되는 조건 e-kt = 1/2을 풀면 kt = 2가 나오면서 자연스럽게 등장합니다.

반응물 농도가 초기 값의 절반으로 줄어드는 데 걸리는 시간. 1차 반응의 반감기: t₁/₂ = 0.693/k (농도와 무관).

반응물의 농도(또는 양)가 처음 값의 절반으로 줄어드는 데 걸리는 시간이며, 기호는

t_{1/2}

입니다.

1차 반응의 반감기는 남은 양을 묻지 않습니다.

100 g

이

50 g

이 되는 데 걸린 시간과,

10 g

이

5 g

이 되는 데 걸리는 시간이 똑같습니다. '얼마나 남았나'가 아니라 '얼마나 지났나'만 보면 되는 시계입니다.

쉽게 말하면

반감기가 특별한 이유는 1차 반응에서 드러납니다. 1차 반응의 농도는 시간에 따라 지수적으로 줄어듭니다.

$[A] = [A]_{0} e^{- k t} ⟺ ln [A] = ln [A]_{0} - k t$

여기에 $[A] = \frac{1}{2} [A]_{0}$ 를 넣으면 $[A]_{0}$ 가 양변에서 약분되어 사라집니다.

$t_{1/2} = \frac{ln 2}{k} \approx \frac{0.693}{k}$

초기 농도가 식에서 사라졌다는 것이 핵심입니다. 얼마를 가지고 시작하든 절반이 되는 데 걸리는 시간은 같습니다. 그래서 1차 반응은 반감기가 몇 번이고 일정하게 반복되고, $n$ 번의 반감기가 지나면 처음의 $(1/2)^{n}$ 이 남습니다.

2차나 0차 반응은 그렇지 않습니다. 2차 반응은 $t_{1/2} = \frac{1}{k [ A ] _{0}}$ 이라 농도가 묽을수록 반감기가 길어지고, 0차 반응은 $t_{1/2} = \frac{[ A ] _{0}}{2 k}$ 이라 농도가 진할수록 반감기가 깁니다. 거꾸로 이용하면, 실험에서 반감기가 일정하게 유지되는지만 봐도 그 반응이 1차인지 판별할 수 있습니다(반응 속도식과 반응 차수).

방사성 붕괴는 대표적인 1차 과정이라 반감기가 일정하고, 이 성질이 연대 측정의 근거가 됩니다(반감기, 절대 연령(방사성 동위원소)).

이렇게 나타납니다

예시 1

반감기 여러 번 지나면 얼마나 남을까

$남은 비율 = (\frac{1}{2})^{n}, n = \frac{t}{t _{1/2}}$

반감기가 $20 분$ 인 1차 반응에서 $60 분$ 이 지나면 $n = 3$ 이므로 처음의 $1/8$ 이 남습니다. 20분마다 $100 \to 50 \to 25 \to 12.5$ 로, 줄어드는 절대량은 계속 작아지지만 줄어드는 비율은 늘 절반입니다.
예시 2

반감기가 일정한지 보면 차수를 알 수 있다

농도-시간 데이터에서 처음 절반이 되는 데 걸린 시간, 그다음 다시 절반이 되는 데 걸린 시간을 재 봅니다. 두 값이 같으면 1차입니다. 두 번째 반감기가 첫 번째보다 길어졌다면(농도가 묽어져서 더 오래 걸린다면) 2차, 오히려 짧아졌다면 0차입니다.
예시 3

속도 상수에서 반감기, 반감기에서 속도 상수

$k = \frac{ln 2}{t _{1/2}}$

1차 반응이라면 반감기 하나만 알아도 속도 상수 $k$ 를 바로 구할 수 있고, 반대도 마찬가지입니다. 반감기가 짧다는 것은 $k$ 가 크다는 것, 곧 빠른 반응이라는 뜻입니다.

순서대로 하면

1차 반응 반감기 문제 푸는 순서

11차 반응인지 먼저 확인합니다 — 반감기가 초기 농도와 무관하다는 성질은 1차에서만 성립합니다.
2경과 시간을 반감기로 나눠 몇 번의 반감기가 지났는지( $n$ )를 구합니다.
3남은 양은 처음 양 $\times (1/2)^{n}$ 입니다. 반응한 양을 물으면 $1 - (1/2)^{n}$ 을 곱합니다.
4 $n$ 이 정수가 아니면 $[A] = [A]_{0} e^{- k t}$ 에 $k = ln 2/ t_{1/2}$ 를 넣어 직접 계산합니다.

차수에 따른 반감기

구분	0차	1차	2차
반감기 식	$t_{1/2} = \frac{[ A ] _{0}}{2 k}$	$t_{1/2} = \frac{ln 2}{k}$	$t_{1/2} = \frac{1}{k [ A ] _{0}}$
초기 농도와의 관계	비례 — 진할수록 길다	무관 — 언제나 같다	반비례 — 묽을수록 길다
반응이 진행되면	반감기가 점점 짧아짐	반감기가 계속 같음	반감기가 점점 길어짐
직선이 되는 그래프	$[A]$ 대 $t$	$ln [A]$ 대 $t$	$1/ [A]$ 대 $t$

자주 하는 오해

반감기가 두 번 지나면 다 없어진다고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움절반 + 절반 = 전부니까, 반감기가 2번 지나면 반응물이 모두 사라진다

실제로는두 번째 반감기는 '처음의 절반'이 아니라 '그 시점에 남아 있는 것의 절반'을 없앱니다. 두 번 지나면

1/4

이 남습니다.

반감기는 덧셈이 아니라 곱셈입니다. 매번 남아 있는 양에

1/2

을 곱하므로

1/2 \to 1/4 \to 1/8 \to \dots

로 줄고, 수학적으로 결코 0이 되지 않습니다. 지수 함수의 성질이며, 그래프가 시간축에 점점 가까워지되 닿지 않는 이유입니다.

반감기는 어떤 조건에서도 변하지 않는 고유한 값이라고 생각하기

이렇게 생각하기 쉬움반감기는 초기 농도와 무관하다고 배웠으니, 온도를 올리거나 촉매를 넣어도 그대로다

실제로는1차 반응의 반감기가 무관한 것은 농도뿐입니다.

t_{1/2} = ln 2/ k

이므로

k

를 바꾸는 조건(온도, 촉매)은 반감기를 바꿉니다.

온도를 올리면 아레니우스 식에 따라

k

가 커지고, 그만큼 반감기는 짧아집니다. 촉매도 마찬가지입니다. '농도와 무관'을 '모든 것과 무관'으로 확대 해석하는 순간 틀립니다. 다만 방사성 붕괴는 예외적으로 원자핵 내부에서 일어나는 일이라 온도·압력·화학적 결합 상태에 사실상 영향을 받지 않고, 그래서 연대 측정의 믿음직한 시계가 될 수 있습니다.

선수 개념 — 이걸 먼저 알아야 해요

반응 속도식과 반응 차수고3

이후 개념 — 이 개념을 배우면 이어집니다

없음 — 이 개념이 마지막입니다

연계 개념 — 과목을 넘어 함께 보면 좋아요

절대 연령(방사성 동위원소)고2 반감기고3

같은 단원의 개념 — 반응 속도

균일·불균일 촉매고3 반응 메커니즘고3 반응 속도고3 반응 속도식과 반응 차수고3 아레니우스 식고3 촉매고3 충돌 이론고3 활성화 에너지고3

자주 묻는 질문

Q1왜 1차 반응에서만 반감기가 초기 농도와 무관한가요?

1차에서는 속도가 남은 양에 정비례하기 때문입니다. 양이 절반이 되면 속도도 절반이 되어, '줄여야 할 양'과 '줄이는 속도'가 똑같은 비율로 작아집니다. 그래서 걸리는 시간이 같아집니다. 2차에서는 속도가 농도의 제곱에 비례해 훨씬 빨리 느려지므로, 묽어질수록 절반이 되는 데 점점 오래 걸립니다.

Q2반감기가 짧으면 위험한 물질인가요?

반감기가 짧다는 것은 그만큼 빨리 사라진다는 뜻이지만, 동시에 짧은 시간에 몰아서 붕괴한다는 뜻이기도 합니다. 화학 반응 속도론에서는 단순히 '

k

가 크다 = 빠르다'로 읽으면 충분합니다.

ln 2

가 왜

0.693

인가요?

자연로그

ln 2 = 0.6931 \dots

이라는 상수 값입니다. 1차 반응의 지수식

[A] = [A]_{0} e^{- k t}

에서 절반이 되는 조건

e^{- k t} = 1/2

을 풀면

k t = ln 2

가 나오면서 자연스럽게 등장합니다.

교육과정 2022 개정 · 고3 화학 · 반응 속도 수록 심화 (교육과정 밖 확장 개념)

출처 교육부 고시 제2022-33호 (2022 개정 교육과정) · NCIC 국가교육과정정보센터

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