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중학교 중1-1 수와연산

최대공약수·최소공배수

최대공약수(GCD)는 두 수의 공통된 약수 중 가장 큰 것, 최소공배수(LCM)는 두 수의 공통된 배수 중 가장 작은 것입니다.
두 악기가 각자 다른 박자로 연주할 때, 두 박자가 동시에 강박이 되는 가장 빠른 순간이 LCM이고, 두 박자를 동시에 나눌 수 있는 가장 큰 마디가 GCD입니다.

쉽게 말하면

소인수분해를 이용하면 두 수의 GCD와 LCM을 체계적으로 구할 수 있습니다. GCD는 두 수의 소인수분해에서 공통된 소인수를 골라 작은 지수를 택해 곱한 것이고, LCM은 모든 소인수를 골라 큰 지수를 택해 곱한 것입니다. GCD와 LCM 사이에는 중요한 관계식 GCD(a,b) × LCM(a,b) = a × b가 성립합니다. 이 관계는 한쪽을 알면 다른 쪽을 빠르게 구하는 데 유용합니다.

숫자로 보는 예시

  1. 예시 1
    소인수분해로 준비합니다.
  2. 예시 2
    공통 소인수에서 작은 지수를 선택해 곱합니다.
  3. 예시 3
    모든 소인수에서 큰 지수를 선택해 곱합니다. 12 × 72 = 24 × 36 = 864로 검산합니다.

풀이 절차

소인수분해로 GCD·LCM 구하기

  1. 1 두 수를 각각 소인수분해합니다.
  2. 2 GCD: 공통 소인수를 모아 지수가 작은 것을 선택해 곱합니다.
  3. 3 LCM: 두 수에 나타난 모든 소인수를 모아 지수가 큰 것을 선택해 곱합니다.
  4. 4 GCD × LCM = 두 수의 곱으로 검산합니다.

자주 하는 실수

GCD에서 큰 지수, LCM에서 작은 지수 선택하기
❌ 안 좋은 예 gcd(24, 36)에서 2³을 선택해 gcd = 24라고 계산하기
✓ 좋은 예 GCD는 두 수가 공통으로 나누어 떨어지는 최대이므로 작은 지수 2²를 선택합니다.
왜요? 지수가 크면 한 수의 배수가 되어 버려 공약수 조건을 벗어납니다.
GCD × LCM 관계식 적용 오류
❌ 안 좋은 예 세 수 a, b, c에서도 gcd(a,b,c) × lcm(a,b,c) = a × b × c가 성립한다고 생각하기
✓ 좋은 예 이 관계식은 두 수 사이에서만 성립합니다. 세 수 이상에서는 직접 소인수분해로 구해야 합니다.
왜요? 관계식은 두 수의 곱과 GCD·LCM 구조에서 유도되며 세 수 이상에선 일반화되지 않습니다.

자가진단 — 풀어보면서 확인하기

아래 문제를 머릿속으로 풀어본 뒤 펼쳐서 정답과 풀이를 확인해 보세요.

Q1 두 수 24와 36의 최대공약수는?
  1. ①18
  2. ②6
  3. ③8
  4. ④12
정답 ④12
24 = 2³ × 3, 36 = 2² × 3²로 소인수분해됩니다. 최대공약수는 공통 소인수의 최솟값의 거듭제곱의 곱이므로 2² × 3 = 12입니다. 최대공약수는 두 수 모두의 약수 중 가장 큰 수입니다.
Q2 두 수 18과 30의 최소공배수는?
  1. ①270
  2. ②180
  3. ③90
  4. ④60
정답 ③90
18 = 2 × 3², 30 = 2 × 3 × 5로 소인수분해됩니다. 최소공배수는 공통 소인수와 그렇지 않은 소인수 모두의 최댓값의 거듭제곱의 곱이므로 2 × 3² × 5 = 90입니다.
Q3 두 수 A, B의 최대공약수가 6이고 최소공배수가 60일 때, A × B의 값은?
  1. ①240
  2. ②360
  3. ③180
  4. ④420
정답 ②360
두 자연수의 곱은 최대공약수와 최소공배수의 곱과 같습니다. 즉 A × B = GCD(A,B) × LCM(A,B) = 6 × 60 = 360입니다. 이 성질은 최대공약수와 최소공배수의 관계에서 매우 중요한 공식입니다.
Q4 두 수 12와 18의 최대공약수는?
  1. ①36
  2. ②9
  3. ③3
  4. ④6
정답 ④6
12=2²×3, 18=2×3²이므로 공통인 소인수의 곱은 2×3=6입니다.
Q5 두 수 4와 6의 최소공배수는?
  1. ①12
  2. ②2
  3. ③24
  4. ④8
정답 ①12
4의 배수와 6의 배수 중 가장 작은 공통 배수는 12입니다.

개념 미니맵 — 어디에 놓인 개념인가요

최대공약수·최소공배수 개념 연결도 왼쪽에 선수 개념, 가운데 최대공약수·최소공배수, 오른쪽에 이후 개념이 배치되어 있습니다. 선수 현재 이후 약수와 배수 소인수분해 최대공약수·최소공배수 최종 개념

자주 묻는 질문

Q1공약수와 GCD는 어떤 관계인가요?
두 수의 모든 공약수는 GCD의 약수입니다. 따라서 공약수 전체를 구하고 싶으면 GCD를 먼저 구한 뒤 그 약수를 나열합니다.
Q2두 수가 서로소이면 GCD와 LCM은?
서로소이면 공통 소인수가 없으므로 GCD = 1, LCM = 두 수의 곱이 됩니다.
Q3GCD와 LCM은 실생활에서 어디에 쓰이나요?
GCD는 어떤 것을 같은 크기로 나눌 때(타일 깔기, 분수 약분), LCM은 서로 다른 주기가 처음으로 겹치는 시점(버스 배차, 주기 계산)에 활용됩니다.
집필 우주정복치즈케이크 수학팀 최종 검토 2026-05-24
출처 교육부 고시 제2022-33호 · NCIC 국가교육과정정보센터
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GCD·LCM을 익히면 분수의 통분·약분, 그리고 이후 비례식에서 활용하는 방법을 배웁니다.

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