약수와 배수

쉽게 말하면

약수란 어떤 수를 나누었을 때 나머지가 0이 되는 수를 말합니다. 예를 들어 12를 1, 2, 3, 4, 6, 12로 나누면 모두 나머지가 0이므로 12의 약수는 {1, 2, 3, 4, 6, 12}입니다. 배수는 어떤 수에 자연수를 곱해서 얻는 수입니다. 3의 배수는 3, 6, 9, 12, …처럼 끝없이 이어집니다. 두 수의 공약수 중 가장 큰 것을 최대공약수(GCD), 공배수 중 가장 작은 것을 최소공배수(LCM)라고 합니다. 최대공약수는 분수를 약분할 때, 최소공배수는 분모를 통분할 때 쓰입니다.

숫자로 보는 예시

1. 예시 1
   $$12=1\times 12=2\times 6=3\times 4\Rightarrow \text{약수}:\{1,2,3,4,6,12\}$$
   곱셈쌍을 작은 수부터 차례로 써서 약수를 빠짐없이 찾습니다.
2. 예시 2
   $$\begin{array}{rl}& 12\text{의 약수: }1,2,3,4,6,12\\ & 18\text{의 약수: }1,2,3,6,9,18\\ & \text{공약수: }1,2,3,6\Rightarrow \text{최대공약수}=6\end{array}$$
   두 수의 약수를 각각 구한 뒤 공통으로 들어 있는 수 중 가장 큰 것이 최대공약수입니다.
3. 예시 3
   $$\begin{array}{rrr}2& 8& 12\\ 2& 4& 6\\ & 2& 3\end{array}\Rightarrow \text{최소공배수}=2\times 2\times 2\times 3=24$$
   나눗셈 사다리로 8과 12의 최소공배수를 구합니다. 공통으로 나눈 수와 나머지를 모두 곱합니다.

풀이 절차

최대공약수·최소공배수 구하는 순서

1. 1 [곱셈쌍으로 약수 구하기] 1×(자기 자신)부터 시작해 곱셈쌍을 차례로 씁니다. 두 수가 같아지거나 교차하면 멈춥니다.
2. 2 [공약수 목록법으로 최대공약수 구하기] 두 수의 약수를 각각 모두 구한 뒤, 두 목록에 공통으로 있는 수 중 가장 큰 것을 찾습니다.
3. 3 [나눗셈 사다리로 최소공배수 구하기] 두 수를 나란히 쓰고, 공통으로 나눌 수 있는 수로 반복해서 나눕니다. 더 이상 공통으로 나눌 수 없을 때 멈춥니다.
4. 4 나눈 수들과 맨 아래 나머지를 모두 곱하면 최소공배수가 됩니다.

자주 하는 실수

자가진단 — 풀어보면서 확인하기

아래 문제를 머릿속으로 풀어본 뒤 펼쳐서 정답과 풀이를 확인해 보세요.

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자주 묻는 질문