통계적 추정

쉽게 말하면

표본평균의 분포: 모집단이 $N(\mu ,{\sigma }^2)$이거나 $n$이 충분히 크면, 표본평균 $\bar{X}\sim N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$.

모평균의 신뢰구간: 모표준편차 $\sigma$를 알 때,
$$\bar{X}-z_{\alpha /2}\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}\le \mu \le \bar{X}+z_{\alpha /2}\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$

수능 기준 신뢰도:
- 95% 신뢰구간: $z_{0.025}=1.96$ → $\bar{X}\pm 1.96\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$
- 99% 신뢰구간: $z_{0.005}=2.58$ → $\bar{X}\pm 2.58\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$

표본 크기 결정: 오차의 한계 $e=z\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$에서 $n\ge {\left(\frac{z\sigma }{e}\right)}^2$.

모비율 추정: 표본비율 $\hat{p}$를 이용한 신뢰구간은 $\hat{p}\pm z\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$.

수능에서는 신뢰구간 계산보다 '표본 크기 변화에 따른 구간 폭 변화' 문항이 자주 등장합니다.

숫자로 보는 예시

1. 예시 1
   $$\bar{X}=170,\sigma =10,n=100\Rightarrow 95\%\text{ 신뢰구간}:170\pm 1.96\cdot \frac{10}{10}=[168.04,171.96]$$
   $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{10}{10}=1$이므로 계산이 간단합니다.
2. 예시 2
   $$n=400\text{으로 늘리면 }\frac{\sigma }{\sqrt{400}}=\frac{10}{20}=0.5\Rightarrow \text{구간 폭 반감}$$
   표본 크기를 4배로 늘리면 오차 한계가 $\frac{1}{2}$로 줄어듭니다.
3. 예시 3
   $$e\le 2,z=1.96,\sigma =10\Rightarrow n\ge {\left(\frac{1.96\times 10}{2}\right)}^2=96.04\Rightarrow n\ge 97$$
   표본 크기는 소수점이 나오면 올림합니다.

풀이 절차

신뢰구간 계산 순서

1. 1 $\bar{X}$, $\sigma$, $n$ 값과 신뢰도를 확인하고 해당 $z$ 값을 씁니다.
2. 2 오차 한계 $e=z\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$을 계산합니다.
3. 3 신뢰구간 $[\bar{X}-e,\bar{X}+e]$를 구성합니다.
4. 4 구간 폭 $2e$ 또는 필요한 $n$을 문제 조건에 맞게 구합니다.

자주 하는 실수

자가진단 — 풀어보면서 확인하기

아래 문제를 머릿속으로 풀어본 뒤 펼쳐서 정답과 풀이를 확인해 보세요.

개념 미니맵 — 어디에 놓인 개념인가요

자주 묻는 질문