정규분포

쉽게 말하면

정규분포 $N(\mu ,{\sigma }^2)$: 평균 $\mu$, 표준편차 $\sigma$인 종 모양 연속분포. 확률밀도함수는 $\mu$에 대해 대칭입니다.

표준화: $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$

$P(a\le X\le b)=P\left(\frac{a-\mu }{\sigma }\le Z\le \frac{b-\mu }{\sigma }\right)$로 변환 후 표준정규분포표를 읽습니다.

이항분포의 정규 근사: $X\sim B(n,p)$에서 $n$이 충분히 크면 $X$는 근사적으로 $N(np,np(1-p))$를 따릅니다.

수능에서는 표준화 → 표 값 읽기 → 확률 계산의 3단계가 고정 패턴이므로 표준화 계산 실수를 줄이는 훈련이 중요합니다.

숫자로 보는 예시

1. 예시 1
   $$X\sim N(70,10^2),P(70\le X\le 80)=P(0\le Z\le 1)$$
   $Z=\frac{X-70}{10}$으로 표준화. $P(0\le Z\le 1)=0.3413$.
2. 예시 2
   $$P(60\le X\le 90)=P(-1\le Z\le 2)$$
   $Z_1=\frac{60-70}{10}=-1$, $Z_2=\frac{90-70}{10}=2$. 대칭성을 이용합니다.
3. 예시 3
   $$P(X\ge a)=0.1587\Rightarrow P(Z\ge 1)=0.1587\Rightarrow a=\mu +\sigma$$
   표에서 $P(0\le Z\le 1)=0.3413$이면 $P(Z\ge 1)=0.5-0.3413=0.1587$.
4. 예시 4
   $$X\sim N(50,10^2).\text{상위 16\% 조건: }P(X\ge a)=0.16\Rightarrow P(Z\ge z)=0.16\Rightarrow z\approx 1\Rightarrow a=50+1\times 10=60\text{점}$$
   역산 유형: $P(Z\ge z)=0.16$을 만족하는 $z$를 표에서 찾은 뒤 $X=\mu +z\sigma$로 원래 점수를 역산합니다. $P(0\le Z\le 1)=0.34$이면 $P(Z\ge 1)=0.5-0.34=0.16$임을 이용합니다.

풀이 절차

정규분포 확률 계산 순서

1. 1 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$의 $\mu$, $\sigma$ 값을 확인합니다.
2. 2 $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$로 표준화해 구간을 $Z$ 기준으로 변환합니다.
3. 3 표준정규분포표에서 $P(0\le Z\le z_0)$ 값을 읽습니다.
4. 4 대칭성 $P(Z\le 0)=0.5$를 이용해 구하려는 확률을 조합합니다.

자주 하는 실수

자가진단 — 풀어보면서 확인하기

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자주 묻는 질문