확률변수와 분포

쉽게 말하면

이산확률변수의 분포는 각 값의 확률을 표로 나타내며, 연속확률변수는 확률밀도함수로 다룹니다. 정규분포는 연속확률변수의 대표 예입니다.

이산확률변수: 취할 수 있는 값이 셀 수 있는 확률변수. 확률의 합 $\sum P(X=x_i)=1$을 항상 만족해야 합니다.

기댓값·분산·표준편차:
$$E(X)=\sum x_i{p}_i,V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2,\sigma (X)=\sqrt{V(X)}$$

이항분포 $B(n,p)$: $n$번 독립 시행에서 성공 확률 $p$일 때 성공 횟수 $X$의 분포.
$$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k},E(X)=np,V(X)=np(1-p)$$

수능에서는 이항분포의 평균·분산 공식을 직접 써서 빠르게 값을 구하는 연습이 필수입니다.

숫자로 보는 예시

1. 예시 1
   $$P(X=0)=0.2,P(X=1)=0.5,P(X=2)=0.3\Rightarrow E(X)=0\cdot 0.2+1\cdot 0.5+2\cdot 0.3=1.1$$
   확률 합이 1인지 먼저 확인합니다: $0.2+0.5+0.3=1$.
2. 예시 2
   $$X\sim B(10,0.4)\Rightarrow E(X)=4,V(X)=10\cdot 0.4\cdot 0.6=2.4$$
   이항분포의 기댓값과 분산을 공식으로 즉시 구합니다.
3. 예시 3
   $$V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2=1.7-1.1^2=1.7-1.21=0.49$$
   위 예시의 분산. $E(X^2)=0^2\cdot 0.2+1^2\cdot 0.5+2^2\cdot 0.3=1.7$.

풀이 절차

이산확률변수 분석 순서

1. 1 확률분포표를 완성하고 확률의 합이 1인지 확인합니다.
2. 2 $E(X)=\sum x_i{p}_i$로 기댓값을 계산합니다.
3. 3 $E(X^2)=\sum x_i^2{p}_i$를 구해 $V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2$를 계산합니다.
4. 4 이항분포라면 $E(X)=np$, $V(X)=np(1-p)$ 공식을 바로 사용합니다.

자주 하는 실수

자가진단 — 풀어보면서 확인하기

아래 문제를 머릿속으로 풀어본 뒤 펼쳐서 정답과 풀이를 확인해 보세요.

개념 미니맵 — 어디에 놓인 개념인가요

자주 묻는 질문