곱셈공식

쉽게 말하면

곱셈공식은 두 다항식을 직접 분배법칙으로 전개하면 항상 같은 패턴이 나온다는 사실을 식으로 정리한 것입니다. 핵심 공식 네 가지는 다음과 같습니다. $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$, $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$. 가운데 항 $2ab$를 빠뜨리거나 부호를 틀리는 경우가 많으므로, '제곱 · 두 배 · 제곱' 순서로 외우는 게 효과적입니다. 게임 맵의 정사각형 영역을 나눌 때처럼, 넓이를 나누어 더하는 원리와 같습니다.

숫자로 보는 예시

1. 예시 1
   $$(x+3{)}^2=x^2+6x+9$$
   a=x, b=3을 대입. 가운데 항은 2×x×3=6x입니다.
2. 예시 2
   $$(2x-5{)}^2=4x^2-20x+25$$
   a=2x, b=5. 부호가 -이므로 가운데 항이 -20x입니다.
3. 예시 3
   $$(x+7)(x-7)=x^2-49$$
   합·차 공식. 가운데 항이 사라지고 제곱 차만 남습니다.
4. 예시 4
   $$(x+2)(x+3)=x^2+(2+3)x+2\cdot 3=x^2+5x+6$$
   $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$ 공식. 두 수의 합이 일차항 계수, 곱이 상수항입니다.
5. 예시 5
   $$99^2=(100-1{)}^2=100^2-2\cdot 100\cdot 1+1^2=10000-200+1=9801$$
   수 계산 활용: 99를 (100−1)로 보고 $(a-b{)}^2$ 공식을 적용하면 암산이 가능합니다. 곱셈공식은 식뿐 아니라 실제 수 계산에도 씁니다.

풀이 절차

곱셈공식 전개하기

1. 1 식의 형태가 (A+B)², (A-B)², (A+B)(A-B) 중 어느 것인지 파악합니다.
2. 2 A, B에 해당하는 식을 확인합니다.
3. 3 공식에 A, B를 대입하여 각 항을 씁니다.
4. 4 동류항이 있으면 계산해 정리합니다.
5. 5 이차항 계수가 1이 아니면 (예: $2x^2+7x+3$) 인수분해는 두 일차식의 곱 $(2x+a)(x+b)$ 꼴로 시도합니다.

자주 하는 실수

자가진단 — 풀어보면서 확인하기

아래 문제를 머릿속으로 풀어본 뒤 펼쳐서 정답과 풀이를 확인해 보세요.

개념 미니맵 — 어디에 놓인 개념인가요

자주 묻는 질문